Equivalencia de la integral de Lebesgue y la integral de Henstock-Kurzweil en funciones reales no negativas

Question

Sea $f:[a,b]\to[0,\infty)$ ( $\mathbb{R}\ni a<b\in\mathbb{R}$ ), y fijar $c\geq0$ . Quiero establecer la equivalencia de los conceptos de integrabilidad de Lebesgue e integrabilidad de Henstock-Kurzweil para esta clase de funciones.

En particular, considere las siguientes afirmaciones:

(1) Para cualquier $\varepsilon>0$ existe una función simple $\omega=\sum_{j=1}^n z_j\mathbf{1}_{E_j}$ (donde $n\in\mathbb{Z}_+$ El $\{z_j\}_{j=1}^n$ son distinto números no negativos, y el $\{E_j\}_{j=1}^n$ son conjuntos medibles de Lebesgue que forman una partición de $[a,b]$ ) tal que $0\leq\omega\leq f$ y

(1a) $f$ es medible en Lebesgue y $\sum_{j=1}^n z_j\mu(E_j)\in( c-\varepsilon,c]$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue, y la suma análoga de cualquier función simple no negativa dominada por $f$ no supera $c$ ;

O

(1b) $f$ es medible en Lebesgue y $\sum_{j=1}^n z_j\mu(E_j)> \varepsilon$ .

(2) Para cualquier $\varepsilon>0$ existe una función "gauge" $\delta_{\varepsilon}:[a,b]\to(0,\infty)$ tal que para cualquier $(x_j,t_j)_{j=1}^n\subset[a,b]$ ( $n\in\mathbb{Z}_+$ ) que satisfaga

• $a<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ ,
• $t_j\in[x_j,x_{j-1}]$ para todos $j\in\{1,\ldots,n\}$ (donde $x_0\equiv a$ ), y
• $x_j-x_{j-1}<\delta_{\varepsilon}(t_j)$ para todos $j\in\{1,\ldots,n\}$ ,

entonces

(2a) $\left|\sum_{j=1}^n f(t_j)(x_j-x_{j-1})-c\right|<\varepsilon$ para todos $j\in\{1,\ldots,n\}$ ;

O

(2b) $\sum_{j=1}^n f(t_j)(x_j-x_{j-1})>\varepsilon$ para todos $j\in\{1,\ldots,n\}$ .

Quiero demostrar que $(1a)\Longleftrightarrow(2a)$ y $(1b)\Longleftrightarrow(2b)$ .

Las partes complicadas son las siguientes:

• Para una determinada función medible de Lebesgue con integral $c$ (o $\infty$ ), ¿cómo se puede construir la función gauge deseada para que la integral de Henstock-Kurzweil sea $c$ (o no existe, respectivamente)?
• Para una función integrable de Henstock-Kurzweil dada cuya integral es finita o no existe porque sería ilimitada, ¿cómo se puede demostrar que es medible de Lebesgue?
• Para una función integrable de Henstock-Kurzweil dada, ¿cómo se puede construir la función escalón deseada?

He hojeado parte de la bibliografía pertinente, pero no he encontrado ninguna explicación satisfactoria y no demasiado rebuscada. (Descargo de responsabilidad: soy un novato en HK-integración con cierta formación en teoría de medidas). Muchas gracias de antemano por su ayuda.

Nota: (1a) establece básicamente que $\int_{[a,b]}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)=c$ y (1b) que $\int_{[a,b]}f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)=\infty.$

Answer 1

Debido a la naturaleza completamente diferente de los enfoques de Riemann y Lebesgue, no existe ninguna prueba directa de la equivalencia que mencionas, que yo sepa.

Para demostrar que la clase de funciones absolutamente integrables HK es la clase de funciones integrables Lebesgue, se utiliza la siguiente caracterización:

Si $V$ es un espacio vectorial de funciones medibles de Lebesgue, y si $I : V \to \mathbb{R}$ es un mapa lineal que satisface las siguientes propiedades:

• $C([a, b]) \subset V$ ;
• $f \in V$ implica $|f| \in V$ ;
• si $(f_n)_n \subset V$ cumplen los supuestos del teorema de convergencia monótona, entonces $\lim_n f_n \in V$ y $I(\lim_n f_n) = \lim_n I(f_n)$

entonces $V = L^1([a,b])$ y $I$ es la integral de Lebesgue.

Por lo tanto, tiene que demostrarlo:

• Las funciones integrables de Riemann son integrables de HK;
• HK cumple el teorema de convergencia monótona;
• Las funciones integrables HK son medibles.

La segunda es clásica y se puede encontrar en cualquier libro sobre la integral de HK. La parte de la mensurabilidad se puede demostrar aproximando la función por funciones escalonadas dadas por las sumas de Riemann. La demostración es un poco técnica (pero no demasiado).

Answer 2

Te daré un esquema de cómo demostrar que no sólo una función que es integrable de Lebesgue es también integrable de Henstock y las integrales tienen el mismo valor, sino también que lo mismo vale para una integral de Lebesgue-Stieltjes y otra de Henstock-Stieltjes. Puedes encontrar una definición muy bien escrita de la integral de Henstock-Stieltjes en el Handbook of Analysis and Its Foundations de Eric Schechter[1]. Esta demostración es mucho más difícil que un simple cálculo.

Primero tendrás que demostrar algunos lemas técnicos:

1) $$\int_a^b f d\varphi=\int_a^c f d\varphi+\int_c^b f d\varphi$$ para $a<c<b$ . Esto no es tan fácil de demostrar como lo es para las integrales de Riemann o Lebesgue. Sugerencia: utilice la galga $\gamma(t)=1$ si $t=c$ y, en caso contrario, $\gamma(t)=\min\{1,|1-t|\}$ .

2) ahora procedes a demostrar el lema de Henstock-Saks usando (1), que es un resultado muy importante y se usa para demostrar muchos otros teoremas sobre integrales de Henstock (y Henstock-Stieltjes).

3) y para la parte más difícil ahora puedes probar el teorema de convergencia monótona, esta prueba está muy lejos de ser trivial, deberías revisarla en A Modern Theory of Integration de Bartle[2].

4) también tienes que demostrar algunos resultados menores como que la integración Henstock-Stieltjes es lineal (no es difícil) y que si un subconjunto de un intervalo cerrado $S$ es una unión contable de intervalos, entonces su función característica es integrable de Henstock-Stieltjes.

5) este es el último lema técnico: sea $f$ y $\varphi$ sean funciones con dominio $[a,b]$ la primera es no negativa y la segunda creciente y la integral de Henstock-Stieltjes $\int_a^b fd\varphi$ existe. Sea $\varepsilon>0$ y $E=\{t\in [a,b]| f(t)\geq 1\}$ entonces existe un conjunto abierto $G$ tal que $E\subset G$ y $$\int_a^b \chi_G d\varphi \leq \varepsilon +\int_a^b fd\varphi.$$ Puedes encontrar una demostración de este lema en [1], no es fácil.

Ahora puedes demostrar el resultado principal (con los lemas que he dicho puedes consultar la demostración en [1] y no te pierdas):

Sea $\varphi$ sea una función creciente y $\mathcal{K}$ una colección de todos los conjuntos $S\subset [a,b]$ tal que los Henstock-Stieltjes de $\chi_S$ en $[a,b]$ existe, entonces $\mu_\varphi (S)=\int_a^b \chi_S d\varphi$ donde $\mu_\varphi(S)$ es la medida de Lebesgue-Stieltjes del conjunto $S$ . Además $\mathcal{K}$ es un completo $\sigma$ -que contiene los conjuntos de Borel $\mathcal{B}$ de $[a,b]$ y $([a,b],\mathcal{K},\mu_\varphi)$ es un espacio de medidas completo que es la completación de $([a,b],\mathcal{B},\mu_\varphi)$ . Más aún: toda medida finita positiva $\mu$ en $\mathcal{B}$ es lo mismo que $\mu_\varphi$ para alguna función creciente $\varphi$ .

Con eso puedes demostrar que cualquier función integrable Lebesgue-Stieltjes es también integrable Henstock-Stieltjes extremo que sus integrales tienen el mismo valor, para demostrarlo usarás el teorema de convergencia monótona más el hecho de que son iguales para la función característica. Por fin, se obtiene también la inversa y finalmente el resultado que se esperaba: que cualquier función positiva que sea integrable de Henstock-Stieltjes lo es también de Lebesgue-Stieltjes y sus integrales son iguales por el mismo argumento. Una buena observación es que esto no será cierto para todas las funciones, en [1] y [2] podemos encontrar contraejemplos de ello.

Answer 3

En abstracto incluso una función integrable de kurzweil absolutamente henstock puede no ser medible todo depende de si1 es una función medible. en los espacios euclidianos toda función integrable de henstock kurzweil es medible. puede consultar bartle. forvreal line. la demostración depende del segundo teorema fundamental del cálculo que dice que la primitiva es diferenciable en casi todas partes. el teorema depende del lema de vitalis o el lema de austins y el enfoque de bartle se puede generalizar a dimensiones mas altas pero no obtenemos que la primitiva sea diferenciable sino que solo la derivada simetrica existe en casi todas partes. por favor consulte las notas de fremlins. sin embargo se puede deducir la mensurabilidad. una prueba directa de que una funcion integrable positiva de lebesgue es integrable si henstock kurzweil se encuentra en lee peng yee rydolf vyborny integral aneasy approach . se basa en mct y dct. la integral de howebber hk es mucho más general . no requiere que el integrador sea ni siquiera de variación acotada para la integral de stiltjes . la teoría de medidas es incapaz de abarcar la generalidad Una cartografía valorada de Banach absolutamente hk integrable en un intervalo [a, b] puede no ser medible. aunque el teorema de evaluación que es el primer teorema fundamental del cálculo se mantiene. Henstock ha construido de una teoría de la variación un anlaogue del measurre externo como alternativa a la medida pero el drux de la thory no está confiando en la noción de measurability y excepto fromm que establece measurability en usos. Como Borel observó y criticó a Lebesgue, éste se ha encerrado en una abstracción intrincada y ha cavado la montaña para encontrar un topo. hoy en día el papel básico de la teoría de lebesgue se limita a la teoría de la probabilidad. en la práctica necesitamos conjuntos cerrados conjuntos abiertos que sean todos medibles