Métrica de riemann de la tangente paquete

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema (de do Carmo de la Geometría de Riemann). particularmente estoy teniendo problemas para demostrar que el producto interior definido es bilineal.

Problema. Es posible definir una métrica de Riemann en la tangente bundle $TM$ de un colector de Riemann $M$, de la siguiente manera. Deje $(p,v)\in TM$ $V,W$ ser tangente vectores en $TM$$(p,v)$. Seleccione curvas en $TM$

$$\begin{align*}& \alpha: t \rightarrow (p(t), v(t))\\ & \beta: t \rightarrow (q(s), w(s))\end{align*}$$

con $p(0)=q(0)=p$, $v(0)=w(0)=v$ y $V=\alpha'(0)$, $W=\beta'(0)$. Definir un producto interior en $TM$ por

$$\langle V,W \rangle_{(p,v)} = \left\langle d\pi(V), d\pi(W) \right\rangle_{p} + \left\langle \frac{Dv}{dt}(0) , \frac{Dw}{ds}(0) \right \rangle_{p},$$

donde $\pi:TM \rightarrow M$. Probar que esto es una bien definida de Riemann métrica en $TM$.

Answer 1

Los dos términos que escribió son aproximadamente horizontal y vertical de las piezas de la métrica. A grandes rasgos, la primera parte da la métrica para el primer factor $T_pM$$T_{p,v}TM$. La segunda parte da la métrica para el segundo factor $T_vT_pM$.

Por la definición de la proyección operador $\pi$ y la definición de la derivada covariante en $(M,\langle\cdot\rangle)$, es claro que la expresión que escribió es coordinar independiente. Hay varias cosas que debe comprobar para asegurarse de que es una métrica

• Es positiva definida
• Es bilineal
• Es tensorial

Pues ya lo tenemos coordinar la independencia, es más conveniente trabajar durante un determinado sistema de coordenadas.

Deje $\{x^1,\ldots,x^n\}$ ser un sistema de coordenadas para $M$; esto puede ser extendido a un sistema de coordenadas locales, $\{x^1,\ldots,x^n;y^1,\ldots,y^n\}$ $TM$ donde $(x,y)$ corresponde al punto de $(p,v)\in TM$ $p$ el punto en $M$ especificado por $x$, e $v\in T_pM$$\sum y^i\partial/\partial x^i$.

En un punto fijo $(p,v)$, un elemento de $T_{p,v}TM$ puede ser descrito por $$ V = \sum \xi^i \frac{\partial}{\partial x^i} + \sum \zeta^i \frac{\partial}{\partial y^i}$$ con la proyección de $$ d\pi(V) = \sum \xi^i \frac{\partial}{\partial x^i} $$

Expresar la curva de $\alpha(t) = (p,v)(t)$ en las coordenadas tenemos que la condición de $\alpha'(0) = V$ es simplemente la afirmación de que $\frac{d}{dt}p^i(0) = \xi^i$$\frac{d}{dt}v^i(0) = \zeta^i$.

Con esto podemos calcular $$ \frac{D}{dt}v^i(0) = \frac{d}{dt} v^i(0) + \Gamma^i_{jk}\left(\frac{d}{dt}p^j(0)\right)\left(v^k(0)\right) $$ utilizando la definición, y donde $\Gamma$ es el símbolo de Christoffel de la métrica de Riemann en $M$. Esto podemos ver de inmediato a ser $$ \frac{D}{dt}v^i(0) = \zeta^i + \Gamma^i_{jk}v^k(0)\xi^j $$ lo que en realidad es un lineal mapa de$T_{p,v}TM$$T_pM$.

Ahora las tres propiedades se pueden comprobar fácilmente:

• Es tensorial porque las expresiones son completamente independientes de la curva de $\alpha$ es elegido, mientras $\alpha'(0)= V$.
• Es bilineal porque $T_{p,v}TM\ni V\mapsto (d\pi(V),\frac{D}{dt}v(0))\in T_pM \oplus T_pM$ es lineal, y la métrica de Riemann en $M$ es bilineal
• Desde la métrica de Riemann inducida en $T_pM\oplus T_pM$ es positiva definida, para demostrar que el nuevo objeto también es positiva definida, es suficiente para comprobar que el mapa de $V\mapsto (d\pi(V),\frac{D}{dt}v(0))$ es inyectiva. Pero esto es cierto por inspección directa.