Pérdida de información al construir un grupo cociente

Question

Estoy intentando estudiar por mi cuenta álgebra abstracta pero estoy teniendo algunas dificultades con los grupos cocientes. Entiendo los cosets y la importancia de usar subgrupos normales ya que sirven como núcleo de un homomorfismo. Lo que no consigo entender intuitivamente es cuando los libros hablan de "perder información" en la construcción de un grupo cociente. Sé que el subgrupo que se modifique sirve como identidad en el nuevo grupo cociente construido, pero ¿cómo perdemos información exactamente? Estoy seguro de que esta es una pregunta muy básica y estoy pasando por alto algo muy simple, pero agradecería su ayuda para entender esto.

Answer 1

Se pierde información sobre los elementos individuales del grupo original cuando se mira sólo su coset en el grupo cociente. $\Bbb Z /2\Bbb Z$ es un buen ejemplo - si se conoce el coset de un número entero en este grupo cociente, sólo se sabe si el número es par o impar. Eso sigue siendo información, pero no tanto como si conocieras el propio número. (Por ejemplo, no sabrías por el coset si el número es divisible por 5).

Answer 2

Sin embargo, con la información sobre los grupos cocientes se puede realmente ganar información sobre el grupo original. Un ejemplo, suponga que sabe que $G/Z(G)$ es un $p$ -grupo, entonces esto da como resultado que $G'$ es un $p$ -grupo, incluso que $G$ es nilpotente. Y hay muchos más ejemplos de este tipo. De hecho, las clases de grupos se definen con ciertas series de (sub)cocientes, como los grupos nilpotentes, supersolubles y solubles. Te sorprenderá saber cuántas propiedades del grupo principal se pueden derivar de estas definiciones.

Answer 3

Ejemplo: Sea $G= \Bbb{Z}/ 24 \Bbb{Z}$ . Digamos que se mide el tiempo con este grupo, así por ejemplo $14 + 24 \Bbb{Z}$ indica la hora $14:00$ que también es $2 \mathrm{pm}$ .

Ahora, puede cotizarse por $12 \Bbb{Z}/24 \Bbb{Z}$ y obtener el nuevo grupo $$G/(12\Bbb{Z}/24 \Bbb{Z}) \cong \Bbb{Z}/12 \Bbb{Z}$$ este cociente le indica el tiempo en ciclos de $12$ horas. Así, por ejemplo, el elemento $2+ 12 \Bbb{Z}$ denota $2 \mathrm{am}$ O $2 \mathrm{pm}$ . Así que, si te digo que es $2+ 12 \Bbb{Z}$ ¿Qué hora es? ¿Es $2 \mathrm{am}$ o es $2 \mathrm{pm}$ ? Bueno, has perdido información con el cociente, y no puedes recuperarla. Tendrías más información si te dijera que es $14 + 24 \Bbb{Z}$ .