Formas diferenciales singulares y $\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$

Question

La función delta de identidad

$$\nabla^2\left(\frac{1}{\lvert\mathbf{x-x'}\rvert}\right)=-4\pi\delta^{(3)}(\mathbf{x-x'})$$

a menudo es casualmente derivados utilizando el teorema de la divergencia, ya que la divergencia de $\nabla(1/r)$ es cero cuando $r\ne 0$, y la superficie de la integral de $\mathbf{r}/\lvert r\rvert^3$ a través de una pequeña esfera que rodea el origen (o sobre cualquier superficie que encierra el origen) tiene una magnitud $4\pi$ por el DT. Sin embargo, cada libro que he visto en Stokes Teorema ha requerido de la forma en cuestión a ser $C^1$, donde esto no es continua. De hecho, es fácil imaginar que las integrales de ciertos maleducado formas no convergen en absoluto, incluso si la superficie de la integral se convergente.

Además, Jackson, entre otros, van a las grandes longitudes a construir el buen comportamiento de los potenciales como

$$\nabla^2\left(\frac{1}{\sqrt{r^2+\eta^2}}\right)=\frac{3\eta^2}{(r^2+\eta^2)^{5/2}}$$

que se asemejan a la forma en cuestión como $\eta\rightarrow 0$, y, a continuación, utilizar las funciones de prueba y de distribución análisis para introducir formalmente la función delta. Le pregunté a una pregunta relacionada aquí en la Física de Intercambio de la Pila sobre una aplicación de este principio.

La pregunta es en dos partes:

1. Puede cualquier permutación de las generalizado de Stokes Teorema de ser aplicado de forma fiable (una clase particular de) singular campos vectoriales (rigurosamente, o de manera informal)? Y si no, ¿qué se requiere para demostrar su validez en un caso en particular?

2. Lo que es realmente necesario rigor a probar esta función delta de identidad, especialmente el uso de la mencionada $\eta$-método potencial? Es el Teorema de la Divergencia válido, o es la función de prueba del método necesario para hacer un riguroso resultado.

Hay una estrecha relación debate en otros lugares , las Matemáticas de Intercambio de la Pila, donde el resultado se derivan de la utilización de ambas técnicas y la validez de la GST nunca está realmente resuelto. No estoy lo suficientemente bien versado en las técnicas de notación y la segunda en que el autor utiliza para estar cómodo con él - una explicación o un libro de referencia también sería apreciada.

Answer 1

Si usted está interesado en las aplicaciones de la física y quiero saber sobre la teoría de distribuciones (y debe), el libro análisis por Lieb y pérdida es fantástico!

Answer 2

Lo que puedes hacer es regularizar su singular potencial usando convolución. En su ejemplo tomando una secuencia de mollifiers $\rho_{\epsilon}$ se puede aplicar el teorema de Stoke para derivar $$\int_{B} \nabla \cdot \nabla (\frac{1}{|r|} \ast \rho_{\epsilon}) = - \int_{\partial B} \nabla \frac{1}{|r|} \ast \rho_{\epsilon}$$ and then take the limit as $\epsilon \to 0$.

El método de $\eta$ potencial es una forma de regularización por convolución. No estoy seguro acerca de lo que quieres decir por "método de la función de prueba".