Edit: tengo una prueba de aquí, pero cuando hablé el pasado con mi profesora, ella me dijo que algo estaba cerca, pero no del todo. Alguien me puede ayudar parche de esta prueba? He estado tratando de conseguir esto por bastante tiempo y estoy empezando a sentir un poco frustrado conmigo mismo.
Estoy tratando de mostrar que la segunda (simplicial) homología grupo o una compacta, conectado orientable superficie sin límite es ismormophic a $\mathbb Z$.
Puedo demostrar que este grupo no es trivial por la triangulación de la superficie, y teniendo en cuenta la cadena que consta de todos la 2-simplices de la triangulación. Ya que la superficie es orientable, y los simplices están orientados de forma compatible, cada borde de cada uno de los dos simplex aparecerá dos veces que apuntan en direcciones opuestas (un hecho que no fue difícil de demostrar, pero no voy a escribir porque de Látex), por lo que cancelar. Eso significa que la cadena que consta de dos-simplices es un ciclo. Puesto que no hay tres-simplices cuando se trata con las superficies, no hay nada que el límite de. Así que los dos-homología de grupo no es trivial, al menos.
Ahora, para demostrar que $H_2(S)$ para algunos orientable $S$ no es mayor que $\mathbb Z,$ procedemos por la contradicción. Supongamos que $H_2(S)$ tenía un segundo generador. Vamos a llamar a la cadena de todos los 2-simplices $K=\sum_{i=1}^n \sigma_i.$ Si hay otro generador para $H_2(S)$, también es un ciclo, por lo que podemos escribir $L=\sum_{j=1}^k a_j \sigma_j$, con la propiedad de que $\partial L=\sum a_j \partial \sigma_j =0.$
Ahora supongamos que algunas de orientación positiva 1-simplex $(+)v$ aparece en $\partial \sigma_x$, e $(-)v$ aparece en $\partial \sigma_y$, entonces los coeficientes $a_x$ $a_y$ debe ser igual. Desde $v$ fue arbitrario, tenemos $a=a_1=...=a_k.$ Así que ahora podemos decir que el $\partial L=\sum_{j=1}^n \sigma_j=0,$ mediante la eliminación de los coeficientes y la cancelación. Esto significa que $L$ es sólo una clara generador de $H_2(S)$ al $k\neq n.$
Si esto es cierto, entonces, podemos tomar la diferencia de las dos cadenas, y producir una tercera cadena, de manera que $K$ es una combinación lineal de estas dos cadenas, la producción de base para $H_2(S)$ isomorfo a $\mathbb Z \bigoplus \mathbb Z$. Estas dos cadenas se $K-L$$L$. Sin embargo, desde la $S$ es una superficie conectada, no es distinto de la unión de otros dos superficies, y por otra parte, puesto que está conectado, es trayectoria-conectado. Esto significa que hay una ruta desde cualquier punto perteneciente a un simplex en $K-L$ a cualquier punto perteneciente a un simplex que aparecen en $L$. Sin embargo, ya que no hay 2-simplices entre ellos, la ruta de acceso debe ir a través de sólo 1-simplices de $S$. Pero entonces cualquier punto en esta 1-simplex no tiene barrios homeomórficos de 2 discos, de modo que $S$ no es una superficie. Una contradicción. Así que esto demuestra que $k=n,$, de modo que $L$ no es un ser distinto de un generador de $H_2(S).$ Desde $H_2(S)$ sólo tiene un generador, y $S$ es orientable, $H_2(S)$ es isomorfo a $\mathbb Z$.
Lo que está mal aquí?
