Convergencia absoluta y convergencia uniforme son fáciles de determinar para esta serie de energía. ¿Lo que podría ser un posible enfoque para encontrar la suma de esta serie $\sum_{k=1}^{\infty} e^{-k(x-k)^{2}}$ (la suma o una estimación de la suma)?
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Robert Christie
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Esto es realmente pretende ser un comentario, como la forma cerrada de la serie es poco probable. Se estudia la transformada de Fourier de la imagen de la función, definida por la serie.
Claramente, la serie es absolutamente convergente para todo real $x$. Aquí está una trama de la serie:
Las oscilaciones sugieren mirando la transformada de Fourier. Haciendo así, formalmente, el término sabio da: $$ \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-k (x-k)^2} \mathrm{e}^{i \omega x} \mathrm{d} x = \sqrt{\frac{\pi}{k}} \mathrm{e}^{i \omega k} \exp\left(-\frac{\omega^2}{k}\right) $$ Por lo tanto, formalmente: $$ \mathcal{F}(\omega) = \sum_{k=1}^\infty \sqrt{\frac{\pi}{k}} \mathrm{e}^{i \omega k} \exp\left(-\frac{\omega^2}{4 k}\right) $$ Como es fácil notar, la serie es divergente para $\omega = 2 \pi n$. Puede ser, sin embargo, se convirtió en bien de la función definida para todos los reales otros $\omega$: $$\begin{eqnarray} \mathcal{F}(\omega) &=& \sum_{k=1}^\infty \sqrt{\frac{\pi}{k}} \mathrm{e}^{i \omega k} \exp\left(-\frac{\omega^2}{4k}\right) \\ &=& \sum_{k=1}^\infty \sqrt{\frac{\pi}{k}} \mathrm{e}^{i \omega k} + \sum_{k=1}^\infty \sqrt{\frac{\pi}{k}} \mathrm{e}^{i \omega k} \left(\exp\left(-\frac{\omega^2}{4k}\right) - 1\right) \\ &=& \sqrt{\pi} \cdot \operatorname{Li}_{1/2}\left(\mathrm{e}^{i \omega}\right) + 2 \sum_{k=1}^\infty \sqrt{\frac{\pi}{k}} \mathrm{e}^{i \omega k} \exp\left(-\frac{\omega^2}{8 k}\right) \sinh\left(\frac{\omega^2}{8 k}\right) \end{eqnarray} $$ No evaluada serie ahora es absolutamente convergente.
El enfoque aquí es heurístico. Nos encontramos con un asintótica de la fórmula para la suma de un gran $x$, Eq. (1) a continuación.
Deje $f(x) = \sum_{k=1}^\infty f_k(x)$ donde $f_k(x) = e^{-k(x-k)^2}$. Cada plazo $f_k(x)$ es un no normalizados distribución Gaussiana con media de $k$ y la desviación estándar $\sigma_k = 1/\sqrt{2 k}$. Para $k \ge 18$ nos encontramos con $6\sigma_k \le 1$, es decir, la distancia entre las medias de dos adyacentes Gaussianas es de seis o más desviaciones estándar. Por lo tanto, para un gran $x$ la función es una suma de estrecho, bien separados de Gauss picos, cuyo ancho disminuye en la medida en $1/\sqrt{2 k} \approx 1/\sqrt{2 x}$.
Observe que $\cos^2\pi x$ tiene casi el comportamiento de derecho, pero la anchura es malo. Una razonable ansatz es $g(x) = (\cos^2 \pi x)^{h(x)}$ donde $h(x)$ modula el ancho de los picos. En efecto, si se expanda $$g(x) = (\cos^2 \pi x)^{x/\pi^2}$$ acerca de $x = k$ encontramos $$g(x) \sim e^{-k(x-k)^2}.$$
Vamos a estudiar esta expansión en un pequeño detalle. Deje $z=(x-k)/\sigma_k$. A continuación, $$\begin{eqnarray*} g(z) &=& \exp\left( -\frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{2\sqrt{2}k^{3/2}} - \frac{\pi^2 z^4}{24k} + O\left(\frac{1}{k^{2}}\right)\right) \\ &=& \exp\left( -\frac{z^2}{2} - O\left(\frac{1}{k}\right)\right), \end{eqnarray*}$$ así, en el límite, le tiene una distribución normal con la correspondiente de la media y de ancho. Por lo tanto, para un gran $x$, $$\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty e^{-k(x-k)^2} \sim (\cos^2 \pi x)^{x/\pi^2}.\tag{1} \end{ecuación*}$$
Traté de encontrar una solución de @Sasha $\mathcal{F}(\omega)$ pero no tuvo suerte. Es probable que algo como esto puede ser encontrado invirtiendo $\mathcal{F}(\omega)$ en el límite correspondiente.
Aquí está una parcela de la suma y ajuste.
Figura 1. La trama de la suma (negro) y el ajuste (rojo).
Anexo: Series de $\log g(x)$
Deje $x = k+z/\sqrt{2k}$ y ampliar acerca de $k=\infty$, $$\begin{eqnarray*} \log g(k+z/\sqrt{2k}) &=& \frac{k+z/\sqrt{2k}}{\pi^2} \log \cos^2\pi\left(k+\frac{z}{\sqrt{2k}}\right) \\ &=& \frac{k+z/\sqrt{2k}}{\pi^2} \log \cos^2 \frac{\pi z}{\sqrt{2k}} \hspace{10ex} (\textrm{sum formula for cosine, use }k\in\mathbb{Z}) \\ &=& \frac{k+z/\sqrt{2k}}{\pi^2} \left[ -\left(\frac{\pi z}{\sqrt{2k}}\right)^2 - \frac{1}{6} \left(\frac{\pi z}{\sqrt{2k}}\right)^4 + O\left(\frac{1}{k^3}\right) \right] \\ &=& -\frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{2\sqrt{2}k^{3/2}} - \frac{\pi^2 z^4}{24k} + O\left(\frac{1}{k^{2}}\right). \end{eqnarray*}$$ Observe que $$\begin{eqnarray*} \log \cos^2 \epsilon &=& \log\left[\left(1-\frac{\epsilon^2}{2}+\frac{\epsilon^4}{24} + O(\epsilon^6)\right)^2\right] \\ &=& \log\left(1-\epsilon^2 + \frac{\epsilon^4}{3} + O(\epsilon^6)\right) \\ &=& \left(-\epsilon^2+\frac{\epsilon^4}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(-\epsilon^2+\frac{\epsilon^4}{3}\right)^2 + O(\epsilon^6) \\ &=& -\epsilon^2 - \frac{\epsilon^4}{6} + O(\epsilon^6). \end{eqnarray*}$$
