Número de conjuntos de particiones

Question

Miré a las particiones de números, como vamos a decir $n=5$. Usted obtener $$ \begin{eqnarray} 5&=&5\\ \hline &=&4+1\\ &=&3+2\\ \hline &=&3+1+1\\ &=&1+2+2\\ \hline &=&2+1+1+1\\ \hline &=&1+1+1+1+1\\ \end{eqnarray} $$ donde he agrupado las particiones de acuerdo a su distribución (por ejemplo, la apariencia) de los sumandos. Así que usted consigue $5$ conjuntos.

Es posible obtener el número de series de general $n$?

OTRA EDICIÓN, gracias a Brian

Si $\pi$ es una partición de a $n$, vamos a $M_\pi$ ser el conjunto múltiple de piezas, y deje $\sigma_\pi$ ser la secuencia de multiplicidades de $M_\pi$ enumerados en el no-orden decreciente. Luego particiones $\pi$ $\pi'$ están en el mismo conjunto si $\sigma_\pi=\sigma_{\pi'}$. Por lo tanto, $\pi=1+3+3$ $\pi'=2+2+3$ están en el mismo conjunto, debido a que $M_\pi=[1,3,3]$, lo $\sigma_\pi=\langle 1,2\rangle$, e $M_{\pi'}=[2,2,3]$, lo $\sigma_{\pi'}=\langle 1,2\rangle$.

EDITAR

He aquí otro ejemplo de $n=6$: $$ \begin{eqnarray} 6 = 6\\ \hline 5 + 1 = 6\\ 4 + 2 = 6\\ \hline 3 + 3 = 6\\ \hline 4 + 1 + 1 = 6\\ \hline 3 + 2 + 1 = 6\\ \hline 2 + 2 + 2 = 6\\ \hline 3 + 1 + 1 + 1 = 6\\ \hline 2 + 2 + 1 + 1 = 6\\ \hline 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6\\ \hline 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 \end{eqnarray} $$ así que tenemos $10$ juegos...

Answer 1

Como se ha señalado, no es fácil la forma cerrada para la función de partición sin ningún tipo de restricciones. Sin embargo, teniendo en cuenta algunas restricciones, hay algunos más agradable formas cerradas. Por ejemplo, si nos vamos a una composición de $n$ ser una partición de $n$ en el que el orden importa, entonces vamos a $P(n)$ el número de composiciones de $n$ que sólo el uso de $1$ $2$ como sus partes y deje $Q(n)$ el número de composiciones de $n$ que sólo uso impar de piezas. Luego, puede ser fácilmente demostrado que $P(n)=F_{n+1}$ $Q(n)=F_n$ donde $F_n$ $n$ésimo número de Fibonacci.