Atomless medir el espacio sin medida la preservación de isomorphisms

Question

Pregunta: ¿Podría alguien dar un ejemplo de un atomless medir el espacio sin medida la preservación de isomorphisms (a excepción de la identidad)?

Antecedentes: Una medida de preservación de isomorfismo en una medida de espacio $(X,\Sigma,\mu)$ es un bijection $\phi$ tal que

$$\forall A\in\Sigma:\mu(\phi^{-1}(A))=\mu(\phi(A))=\mu(A)$$

Edit: Por 'excepto para la identidad del' yo obviamente significaba excluir todos los $\phi$ tal que $\mu(A\triangle\phi(A))=0$ todos los $A\in\Sigma$.

Answer 1

Deje $X = [0,1]$. Deje $\psi : \mathbb{Q} \cap [0,1] \to \{0,1,2,\ldots\}$ ser un bijection. A continuación, defina $f(x) = \sum_{\mathbb{Q} \ni q < x} 3^{-\psi(q)}$, y deje $d\mu = df$. Esto debería generalizar el fracaso de no encontrar trivial medida-automorfismos en ciertos átomo-ed espacios.

Deje $\phi$ ser una medida-automorphism. Podemos demostrar que $\phi$ corrige todos los racionales, y, a continuación, $\phi$ debe estar de acuerdo con la identidad.e.. Deje $q_n = \psi^{-1}(n)$. Deje $(A_j)$ ser una secuencia de barrios de $q_0$ disminuyendo a $\{ q_0 \}$. A continuación, $\mu(A_j)$ disminuye a $1$. Ahora si $q_0 \not \in \phi(A_j)$$\mu(\phi(A_j)) < 1$, y por lo tanto $q_0 \in \phi(A_j)$ todos los $j$. Llegamos a la conclusión de que $\phi(q_0) = q_0$. Idéntico argumento en una inducción de la muestra $\phi$ corrige todos los racionales.

Me siento menos cómodo acerca de esta prueba, así que por favor, hágamelo saber si hay un error.