Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una izquierda función continua puede el conjunto de puntos discontinuos de $f$ positivas para la medida de Lebesgue?

Question

Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una izquierda función continua puede el conjunto de puntos discontinuos de $f$ positivas para la medida de Lebesgue?

Me preguntaba esto hoy, pero hizo poco progreso. Gracias.

Answer 1

Sam Watson me dio la siguiente respuesta:

$f$ puede tener en la mayoría de countably muchos puntos discontinuos.

Escribir $$S_n = \left\{x\in\mathbb{R}:\max\left(f(x)-\liminf_{y\downarrow x}~f(y),\limsup_{y\downarrow x}~f(y)-f(x)\right)>\frac{1}{n}\right\}$$

Entonces el conjunto de discontinuidades de $f$ es dada por $\cup_{n\in\mathbb{N}}S_n$, por lo que es suficiente para demostrar que $S_n$ es contable por cada $n$, ya que una contables de la unión de conjuntos contables es contable.

Revisión $n\in\mathbb{N}$. Supongamos que tenemos un almacén de aumento de la secuencia de $x_i$ en $S_n$, con límite de $x$. Entonces se puede pasar a una larga $x'_i$, tal que para todo $i$

$$f(x'_i)-\liminf_{y\downarrow x'_i}~f(y)>\frac{1}{n}$$

o que para todo $i$

$$\limsup_{y\downarrow x'_i}~f(y)-f(x'_i)>\frac{1}{n}$$

Dicha secuencia contradice a la izquierda de la continuidad en $x$, por lo que cualquier aumento de la secuencia en $S_n$ debe ser ilimitada, por lo que $S_n$ es contable.

Answer 2

No hay nada malo con Ben Derrett la respuesta, pero pensé que sólo me gustaría señalar que el mismo argumento pasa por debajo ligeramente más débil de la hipótesis.

Lema. Deje que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser arbitraria. Entonces el conjunto $A \subconjunto \mathbb{R}$ de todos los puntos de $un$ que

1. $f$ es discontinua en $un$
2. el límite de $f(x)$ $x$ enfoques $una$ de la izquierda existe

es contable.

Prueba. Supongamos por contradicción que $a$ es incontable. Para $i \in \mathbb{Z}^+$, vamos a $A_i$ ser el conjunto de todos los $a \in A$, tal que, para cualquier vecindad de $U$ de $a$, $|f(x) - f(y)| \geq 1/i$ tiene $x,y \in U$. Dado que $f$ es discontinua en $Un$ tenemos $A = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$ y de ello se sigue que $A_n$ es incontable $n$.

Llame a un punto de $a \in A_n$ izquierdo aislado si $(\epsilon,una)$ no cumple $A_n$ para lo suficientemente pequeños como $\epsilon>0$. Asociando a cada uno de izquierda punto aislado $a$ un número racional desde el intervalo $(\epsilon,)$, vemos que $A_n$ ha countably muchos de la izquierda-puntos aislados. Desde $A_n$ es incontable, existe alguna $p \in A_n$ que no se quede aislado.

Pero ahora, dado que $\epsilon > 0$, tenemos que $(p - \epsilon, p)$ es un barrio de algunos $a \in A_n$. Por lo tanto, $|f(x) - f(y)| \geq 1/n$ $x,y \(p \epsilon, p)$. Pero esto contradice la suposición de que el límite de $x \a p$ desde la izquierda de $f(x)$ existe. QED.

Como una aplicación, después de reprobar el lema con la mano izquierda límites sustituida por la derecha de los límites, se obtiene el siguiente.

Teorema. Si $f$ es tal que para todo $a \in \mathbb{R}$ de uno de los límites $$ \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ o } \lim_{x \to a^+} f(x) $$ existe, entonces $f$ tiene un conteo del número de discontinuidades.