Demostrar que un anillo es noetheriano

Question

Muestro lo siguiente:

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad y $I \subseteq R$ un ideal. Demostrar: si $R/I$ es un anillo noetheriano y $I/I^2$ es una entidad finitamente generada $R$ -módulo, entonces $R/I^n$ es un anillo noetheriano.

Mi trabajo: Muestro que $I/I^n$ y $R/I$ son noetherianos $R/I^n$ -módulos. Puedo demostrar que son $R/I^n$ -pero no puedo demostrar que son noetherianos. Por ejemplo, ¿por qué $I/I^2$ un noetheriano $R/I^2$ -¿Módulo? Sólo está finitamente generado $R$ -por lo que debería ser un módulo de generación finita $R/I^2$ -módulo.

Answer 1

La secuencia exacta $0 \to I/I^n \to R/I^n \to R/I \to 0$ muestra que basta con demostrar que $I/I^n$ y $R/I$ son noeterianos $R/I^n$ -módulos, como ya ha observado.

Desde $R/I$ es noetheriano sobre $R/I$ también es noetheriano sobre $R$ y más $R/I^n$ (los submódulos con respecto a todos estos anillos son iguales (como conjuntos)).

Para demostrar que $I/I^n$ es noetheriano (digamos sobre $R$ ) para $n \geq 1$ , inducir en $n$ y utilizar la secuencia exacta $0 \to I^{n-1}/I^n \to I/I^n \to I/I^{n-1} \to 0$ para reducir la demanda a $I^{n-1}/I^n$ . Ahora utilice otra secuencia exacta y la inducción para reducir la afirmación a los casos $n=1,2$ es decir $R/I$ y $I/I^2$ . Pero $R/I$ es noetheriano por suposición, y $I/I^2$ es un módulo generado finitamente sobre el anillo noetheriano $R/I$ Por lo tanto, también es noetheriano.