Si N y cada subgrupo de N es normal en G, entonces G/N es abelian .

Question

Deje $N$ ser un subgrupo normal de $G$ de manera tal que cada subgrupo de $N$ es normal en $G$$C_G(N)\subseteq N $ .Demostrar que $G/N$ es abelian.

Creo que debemos uso que cada subgrupo de $N$ es normal en $G$ pero no los puedo usar .Por favor me ayudan con Sugerencias.

Answer 1

Vamos $a \in N$, $b,c \in G$. Desde $\langle a \rangle$ es normal en $G$, es normalizado por $b$$c$.

El automorphism grupo de un grupo cíclico es abelian, por lo $b^{-1}c^{-1}bc$ centraliza $\langle a \rangle$. Ahora bien, esto es cierto para todos los $a \in N$, lo $b^{-1}c^{-1}bc \in C_G(N) \le N$.