Demostrar que $\tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3}$

Question

Mi (muy simple) pregunta a un amigo fue cómo puedo demostrar lo siguiente usando principios básicos de trigonometría:

$\tan75^\circ = 2 + \sqrt{3}$

Él me dio esta demostración (¡a través de un mensaje de texto!)

$1. \tan75^\circ$

$2. = \tan(60^\circ + (30/2)^\circ)$

$3. = (\tan60^\circ + \tan(30/2)^\circ) / (1 - \tan60^\circ \tan(30/2)^\circ)$

$4. \tan (30/2)^\circ = \dfrac{(1 - \cos30^\circ)}{ \sin30^\circ}$

¿Se puede explicar de manera más concisa ya que soy nuevo en trigonometría y un poco perdido después de (2.)?

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EDITAR

Usando las respuestas dadas, casi llego allí:

1. $\tan75^\circ$
2. $\tan(45^\circ + 30^\circ)$
3. $\sin(45^\circ + 30^\circ) / \cos(45^\circ + 30^\circ)$
4. $(\sin30^\circ.\cos45^\circ + \sin45^\circ.\cos30^\circ) / (\cos30^\circ.\cos45^\circ - \sin45^\circ.\sin30^\circ)$
5. $\dfrac{(1/2\sqrt{2}) + (3/2\sqrt{2})}{(3/2\sqrt{2}) - (1/2\sqrt{2})}$
6. $\dfrac{(1 + \sqrt{3})}{(\sqrt{3}) - 1}$
7. multiplicar todo por $(\sqrt{3}) + 1)$

Otro enfoque alternativo:

1. $\tan75^\circ$
2. $\tan(45^\circ + 30^\circ)$
3. $\dfrac{\tan45^\circ + \tan30^\circ}{1-\tan45^\circ.\tan30^\circ}$
4. $\dfrac{1 + 1/\sqrt{3}}{1-1/\sqrt{3}}$
5. en el punto 6 del enfoque alternativo anterior

Answer 1

Una prueba sin palabras (pero utiliza algo de geometría). ¿Está bien?

Answer 2

La fórmula que quieres ver es: $\tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$ para cualquier grado $x$ y $y.

Por otro lado, demostrar esta igualdad de tangentes a partir de las fórmulas $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$ y $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ será un buen ejercicio para un principiante.

Answer 3

Puedes usar $\tan (75)=\tan(45+30)$ e insertarlo en la fórmula de Metin en su lugar. Motivo: Tu $15^\circ$ no es tan trivial.

Answer 4

$$\begin{array}{l} \tan (75^{\circ})=\frac{\sin (75^{\circ})}{\cos (75^{\circ})}=\frac{\cos (15^{\circ})}{\sin (15^{\circ})}=\frac{\cos (30^{\circ} / 2)}{\sin (30^{\circ} / 2)}=\sqrt{\frac{1+\cos (30^{\circ})}{1-\cos (30^{\circ})}} \\ =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^{2}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}}=2+\sqrt{3} \end{array}$$