Resolver la ecuación de $\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}$

Question

Resolver la siguiente ecuación: $\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}$

Por desgracia no tengo idea.

Answer 1

Poner $x=\cos \theta$, entonces: $\sqrt{1-\cos \theta} = 2\cos^2 \theta -1 + 2\cos \theta\sin\theta = \cos 2\theta + \sin 2\theta$.

Cuadrado ,obtenemos:

$1-\cos \theta = 1 + \sin 4\theta$.

Por lo tanto, $\cos \theta = -\sin 4\theta$

Sabemos que: $\cos(\theta) = \sin(90-\theta) = -\sin(90+\theta)$.

Esto nos daría $90+\theta = 4\theta + n \pi$, donde el factor de $n\pi$ necesita ser añadida a causa de la periodicidad de las $\sin$. Poner diferentes valores de $ n$, we would get different values of $\theta$, exactamente uno de los que he encontrado en Wolfram y estoy publicando que:

$\theta =126^\circ$, e $x=\cos 126^\circ =0.588785$.

Answer 2

Primer aviso de que $x$ debe ser en $[-1,1]$. Vuelva a escribir $$\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^2} =2x^2-1$$ and square : $$(1-x)+4x^2(1-x^2)-4x(1-x)\sqrt{1+x}=4x^4-4x^2+1.$$ This can be simplified $$4x(x-1)\sqrt{1+x}=8x^4-8x^2+x=x(8x^3-8x+1).$$ Symplify by $x$ and square another time to get $$16(x+1)(x-1)^2=64x^6+64x^2+1+16x^3-16x-128x^4.$$ Finally this leads to the equation $$64x^6-128x^4+80x^2-15 = 0.$$ Set $y=x^2$ and solve $$64y^3-128y^2+80y-15=0.$$ An "obvious solution" is $\frac{3}{4}$. Después de que usted tendrá que resolver un simple segundo grado de la ecuación.

No te olvides de discutir las soluciones al final. Si no hay errores, sólo una solución debe estar en $[-1,1]$ y satisfacen la ecuación original.

Answer 3

Deje $x=\cos2y$

WLOG $0\le2y\le180^\circ\implies\sin y\ge0$

$$\sqrt2\sin y=\cos4y+\sin4y\iff\sin\left(4y+45^\circ\right)=\sin y$$

$\implies$

cualquiera de las $4y+45^\circ=360^\circ n+y\iff y=120^\circ n-15^\circ\implies y=(120-15)^\circ\implies x=\cos2y=?$

o $4y+45^\circ=(2n+1)180^\circ-y\iff y=72^\circ n+27^\circ\implies y=27^\circ\implies x=\cos2y=?$