De Wikipedia
En matemáticas y estadística, la debilidad de la convergencia (también conocido como estrecho de convergencia o débil-* la convergencia, que es un nombre más apropiado desde el punto de vista de análisis funcional, pero de uso menos frecuente) es uno de los muchos tipos de convergencia relativos a la convergencia de las medidas. Depende de la topología en el espacio subyacente y por lo tanto no es una medida puramente teórico de la noción.
Hay varias definiciones equivalentes de la debilidad de la convergencia de una secuencia de medidas, algunas de las cuales son (aparentemente) más general que otros. La equivalencia de estas condiciones se conoce a veces como la unión teorema.
Definición. Deje $S$ ser un espacio métrico con su Borel σ-álgebra $Σ$. Se dice que una secuencia de probabilidad medidas de $P_n$ $(S, Σ), n = 1, 2, ...,$ converge débilmente a la probabilidad de medida $P$, si alguna de las siguientes condiciones equivalentes a las de verdad (aquí $E_n$ denota la expectativa con respecto a $P_n$ mientras $E$ denota la expectativa con respecto a $P$):
- $E_nf → Ef$ para todos los acotado, funciones continuas $f$;
- $E_nf → Ef$ para todos los delimitada y funciones de Lipschitz $f$;
- $\limsup E_nf ≤ Ef$ por cada superior semi-continuo de la función $f$ delimitada desde arriba;
- $\liminf E_nf ≥ Ef$ por cada menor semi-continuo de la función $f$ delimitada de la siguiente;
- $\limsup P_n(C) ≤ P(C)$ para todos los conjuntos cerrados $C$ espacio $S$;
- $\liminf P_n(U) ≥ P(U)$ abierto para todos los conjuntos de $U$ espacio $S$;
- $\lim P_n(A) = P(A)$ para toda la continuidad de los conjuntos de $A$ de medida $P$.
¿Explica por qué la convergencia modo se llama débil*:
En la página que cito, Wikipedia define la debilidad de la convergencia de (probabilidad) de las medidas. Este modo de convergencia debe ser llamado débil* en lugar de débil, porque se refiere a la convergencia en contra de cualquiera limitada funciones continuas, y el espacio de $M_1$ de probabilidad de medidas se incluye en el dual del espacio de $C_b$ delimitada de funciones continuas. Es decir, $(\mu_n)$ $M_1$ converge a $\mu$ $M_1$ si y sólo si $\int f\mathrm d\mu_n\to\int f\mathrm d\mu$ por cada $f$ $C_b$ y este es un débil* la convergencia debido a que $M_1\subset(C_b)^*$.
Ahora me pregunto ¿por qué esta convergencia modo se llama débil? Puede "débil" ser explicado desde el punto de vista de análisis funcional, o se explica desde otro punto de vista?
Gracias y saludos!
