Completitud de las derivadas de la base de Hilbert con respecto a un parámetro

Question

Tomemos una base de Hilbert $\left|x_\lambda\right >$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ es decir, el $\left|x_\lambda\right >$ son un conjunto completo y ortonormal de vectores. El subíndice indica que dependen paramétricamente de un parámetro $\lambda$ .

Consideremos ahora la nueva familia de vectores $\left|\partial_\lambda x_\lambda\right >$ que se obtiene tomando la derivada con respecto a $\lambda$ de $\left|x_\lambda\right >$ . La notación significa simplemente

$$\left|\partial_\lambda x_\lambda\right >=\sum_i \partial_\lambda\left<i, x_\lambda\right>\left |i \right>$$

con $\left|i\right>$ alguna base fija, es decir, independiente de los parámetros.

Mi pregunta: ¿En qué condiciones está completa esta nueva familia?

Para ser claros, un ejemplo puede ser el siguiente. Las funciones propias del hamiltoniano del oscilador armónico son una base para $L^2(\mathbb C)$ que depende paramétricamente de la frecuencia $\omega$ del oscilador. ¿Son las derivadas con respecto a $\omega$ de polinomios de Hermite por Gaussiano sigue siendo una familia completa?

Answer 1

Supongo que quieres decir que tienes una familia $(e_k(t))_{k\in\mathbb N}$ de bases ortonormales de un espacio de Hilbert $\mathcal H$ dependiendo diferencialmente de un parámetro $t\in\mathbb R$ . Intentemos decidir si $(e_k'(t_0))_{k\in\mathbb N}$ está completo en $\mathcal H$ para algunos fijos $t_0\in\mathbb R$ . Para ello, suponemos que existe una función diferenciable $U : \mathbb R\to L(\mathcal H)$ tal que $e_k(t) = U(t)e_k$ , donde $U(t_0) = I$ (el operador de identidad). Este debería ser el caso en tu ejemplo del oscilador armónico. Evidentemente, $U(t)$ es un operador unitario para cada $t$ . Ahora bien, si $(e_k'(t))_{k\in\mathbb N}$ no es completa, existe un vector no nulo $x\in\mathcal H$ tal que $\langle x,e_k'(t_0)\rangle = 0$ para todos $k\in\mathbb N$ . Por lo tanto, $0 = \langle x,U'(t_0)e_k\rangle = \langle U'(t_0)^*x,e_k\rangle$ para todos $k$ , lo que significa que $U'(t_0)^*x = 0$ . En realidad, se puede quitar la estrella aquí, ya que $UU^* = I$ implica $U'U^* + U(U')^* = 0$ y por lo tanto $(U')^* = -U^*U'U^*$ que, en $t = t_0$ es $U'(t_0)^* = -U'(t_0)$ (en otras palabras, $U'(t_0)$ es simétrico). Por lo tanto, el sistema $(e_k'(t_0))_{k\in\mathbb N}$ no es completa si y sólo si existe un vector no nulo en el núcleo de $U'(t_0)$ .