Deje $\lambda\vdash n$ ser una partición de $n\in\mathbb N$ $\chi=\chi_\lambda$ el correspondiente carácter irreductible del grupo simétrico $S_n$. Denotar por $\lambda^t$ ser la transpuesta de a $\lambda$ $\ell(\lambda):=\lambda^t_1$ de la longitud de $\lambda$. Deje $\tau\in S_n$ ser cualquier transposición. En [R, el Teorema 3.5], la fórmula siguiente es citado: $$ \binom n2 \cdot \frac{\chi(\tau)}{\chi(1)} = \sum_{i=1}^{\ell(\lambda)} \left( \binom{\lambda_i}2 - \binom{\lambda^t_i}2 \right). $$
Me gustaría ver una prueba para esta fórmula. Roichman se refiere al papel [I], que sí se refiere a un alemán de papel por Frobenius, "Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe". Yo era incapaz de obtener una copia de dicho documento, pero creo que esto de alguna manera debe seguir a partir de la Murnaghan-Nakayama regla (o directamente de la Frobenius carácter de la fórmula).
Francamente, no he invertido mucho tiempo en un intento de demostrar a mí mismo porque tenía la esperanza de que hay un más accesible y detallada referencia para tan temprana de la fórmula. Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera proporcionar dicha referencia. Por supuesto, si le sucede a conocer a un corto de prueba, no abstenerse de publicar.
- [R] Yuval Roichman: límite Superior en los caracteres de los grupos simétricos. Inventiones mathematicae, De agosto de 1996, Volumen 125, número 3, pp 451-485.
- [I] Ingram, R. E.: Algunos de los personajes del grupo simétrico. Actas de la Sociedad Matemática Americana, de junio de 1950, Volumen 1, número 3, pp 358-369.
