Integral de la función Sinc al cuadrado sobre la recta real

Question

Intento evaluar $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)^2}{x^2} dx $$ ¿Funcionaría un contorno? He intentado utilizar un contorno pero no he tenido éxito. Gracias.

Edición: Unos 5 minutos después de publicar esta pregunta de repente me di cuenta de cómo resolverlo. Por lo tanto, lo siento por eso. Pero gracias por todas las respuestas de todos modos.

Answer 1

¿Por qué no probar la integración por piezas? Esto sólo da:

$$\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx=\int_{\mathbb{R}}\frac{\sin(2x)}{x}\,dx=\pi.$$

Con el mismo enfoque también se pueden encontrar los valores de $$I_m = \int_{\mathbb{R}}\frac{\sin^m(x)}{x^m}\,dx.$$

Answer 2

He aquí otro enfoque. Escribe la integral como

$$I = {2}\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2}. $$

Recordando la transformada de Mellin de una función $f$

$$ \int_{0}^{\infty} x^{s-1} f(x)dx $$

nuestra integral es la transformada de Mellin de $\sin(x)^2$ con $s=-1$ . La transformada de Mellin es $\sin(x)^2$ dada por

$$ -\frac{1}{2}\,{\frac {\sqrt {\pi }\,\Gamma \left( 1+s/2 \right) }{s\,\Gamma \left( -s/2 + 1/2 \right) }}.$$

Tomando el límite como $s\to -1$ da la respuesta deseada $\frac{\pi}{2}$ . Véase otros enfoques .

Answer 3

Se trata de un enfoque que utiliza la integración de contornos. \begin{align} \int_{\mathbb{R}}\frac{\sin^2{x}}{x^2}{\rm d}x &=-\frac{1}{4}\lim_{\epsilon \to 0}\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{(x-i\epsilon)^2}{\rm d}x\tag1\\ &=-\frac{1}{4}\lim_{\epsilon \to 0}2\pi i\lim_{z \to i\epsilon}\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}(e^{2iz}-2)\tag2\\ &=\frac{1}{4}\lim_{\epsilon \to 0}4\pi e^{-2\epsilon}\\ &=\pi \end{align} Explicación:
$(1)$ : Ampliar $\sin^2{x}$ en términos de exponenciales complejos y desplazar el polo hacia arriba.
$(2)$ : Divida la integral en $2$ . Integrar la primera a lo largo de un semicírculo en el uhp, y la segunda a lo largo de un semicírculo en el lhp. La segunda integral $=0$ ya que no encierra ningún polo.

Como alternativa, se puede utilizar el hecho de que $$\int^\infty_0t^{n-1}e^{-xt}{\rm d}t=\frac{\Gamma(n)}{x^n}$$ De ello se deduce que \begin{align} 2\int^\infty_0\frac{\sin^2{x}}{x^2}{\rm d}x &=2\int^\infty_0t\int^\infty_0e^{-xt}\sin^2{x} \ {\rm d}x \ {\rm d}t\\ &=2\int^\infty_0\int^\infty_0e^{-xt}\sin{2x} \ {\rm d}x \ {\rm d}t \tag{Integrated by parts}\\ &=2\int^\infty_0\frac{2}{t^2+4}{\rm d}t\\ &=\pi \end{align}

Answer 4

¿Qué ocurre si se separa? $\cos2x$ en $e^{2ix}$ y $e^{-2ix}$ ? Las dos piezas necesitan contornos diferentes: una por encima de la línea real y la otra por debajo.