Encontrar (lineal) matriz de transformación con el hecho de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan una a otra.

Question

Esta es la primera vez que publico algo en este sitio web. Estoy en esta pregunta ya por horas. Claramente estoy pidiendo a la comunidad a hacer mi tarea, estoy esperando que alguien me puede explicar cómo debo resolver la siguiente pregunta;

Deje $l$ ser una línea a través del origen en $\mathbb{R}^2$, $P_l$ la transformación lineal que proyecta un vector en $l$, e $F_l$ la transformación que refleja un vector en $l$.

• Dibujar diagramas para mostrar que $F_l$ es lineal. Diagramas? ¿A qué se parece esto? Una matriz estándar?
• La figura 3.14 (ver imagen) sugiere un camino para encontrar la matriz de $F_l$, utilizando el hecho de que las diagonales de un paralelogramo se bisecan una a otra. Demostrar que $F_l = 2P_l(x) - x$, y utilizar este resultado para demostrar que la matriz estándar de $F_l$ (ver imagen).
• Si el ángulo entre la $l$ y la positiva $x$eje $A$, muestran que la matriz de $F_l$ (ver imagen).

Os adjunto la cuestión de la imagen

Espero que usted puede ayudar.

Gracias!

Imagen: i.stack.imgur.com/vFkmM.jpg

EDIT: la Imagen se muestra aquí:

Answer 1

Para la primera parte, el diagrama que se debe sacar es similar a la de la figura 3.14. Su mapa de $F_\ell : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es lineal si $F_\ell(x+y) = F_\ell(x) + F_\ell(y)$$F_\ell(cx) = cF_\ell(x)$. Aquí $x$, $y$ son los puntos de su dominio $\mathbb{R}^2$ $c$ es un escalar. Usted puede comprobar la igualdad mediante la elaboración de los vectores en cualquiera de los lados de las dos ecuaciones escribí. Por ejemplo, para comprobar la segunda igualdad, tiene $x$, $\ell$, y $F_\ell(x)$ ya dibujados en la Figura 3.14. Trata de dibujar $cx$,$F_\ell(cx)$, y dibujar $cF_\ell(x)$, y verificar que estos dos últimos son iguales. Usted puede hacer algo similar para la primera igualdad.

Para la parte b: yo preferiría volver a escribir la igualdad como $x + F_\ell(x) = 2P_\ell(x)$. Ahora mira en la Figura 3.14. ¿Cómo es el lado izquierdo, $x + F_\ell(x)$, representado geométricamente? Cómo es $2P_\ell(x)$ representado geométricamente? Convencerse de que estos vectores son iguales.

Ahora, la norma de la matriz de un lineal mapa de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$consta de dos columnas: la primera columna dice lo que el mapa del vector de $\langle 1, 0 \rangle$, y la segunda columna dice lo que el mapa del vector de $\langle 0, 1 \rangle$. Primero debe escribir la matriz estándar para $P_\ell$ por el hecho de calcular el vector proyección de cada uno de estos dos vectores de la base en el vector de $\langle d_1, d_2 \rangle$. Ahora usted puede utilizar la igualdad para el cálculo de la matriz estándar de $F_\ell$.

Finalmente, en la parte c se sigue de b si se inserta en el vector de dirección $\langle \cos \theta, \sin \theta \rangle$.