Suave incrustaciones de la $2$-esfera

Question

Tengo un pasado qual pregunta aquí: dado un suave incrustación $f \colon S^2 \to \mathbb{R}^3$, muestran que no debe existir distintos puntos de $p,q \in S^2$ de manera tal que la tangente a los planos, integrado en el ámbito $f(S^2)$ $f(p)$ $f(q)$ son paralelas.

Mi idea era la de que, suponiendo que la tangente aviones a $f(p)$ $f(q)$ no son paralelas para todos los $p$$q$, para la construcción de un campo de vectores en $f(S^2)$ de manera tal que su retirada por $f$ es nonvanishing, lo que produciría una contradicción, ya que tienen dimensiones de la esfera.

Cualquier insinuación o sugerencia se agradece!

Answer 1

Creo que hay algo más simple.

Deje $x,y,z$ indican las coordenadas en $\mathbb{R}^3$. Por compacidad, no es $p\in f(S^2)$ tal que $z(p)$ es el valor máximo de $z$ a lo largo de $f(S^2).$ ruta $\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to f(S^2),\;t\mapsto(x(t),y(t),z(t))$$\alpha(0)=p$, satisface $\dot{z}(0)=0$. De ello se desprende que $T_pf(S^2)\subset\{(a,b,0)|a,b\in\mathbb{R}\}$, y para la dimensión razones, $T_pf(S^2)=\{(a,b,0)|a,b\in\mathbb{R}\}$. Ahora tome $q\in f(S^2)$ con un mínimo de $z$, y el uso de un argumento similar a la conclusión de que la $T_pf(S^2)=T_qf(S^2)$.

Tenga en cuenta que nosotros sólo el uso de la compacidad.