Demostrar que el número de discontinuidades de salto está contables para cualquier función

Question

Me gustaría demostrar que el número de simple salto de discontinuidad de una función está contables.

Puede que alguien me señale algunos de los materiales que la prueba es o explicar la prueba aquí?

Gracias.

Answer 1

Deje $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ $$A=\left\{x\in (a,b):f\text{ has a jump discontinuity at $x$}\right\}$$ Ahora $$A=A^{+}\cup A^{-}$$ donde $$A^{+}=\left\{x\in (a,b):\lim_{y\to x^+}f(y)>\lim_{y\to x^-}f(y)\right\}$$ y $$A^{-}=\left\{x\in (a,b):\lim_{y\to x^+}f(y)<\lim_{y\to x^-}f(y)\right\}$$ Voy a mostrar $A^{+}$ es contable y dejar el resto para usted. Fix $x\in A^{+}$ y, a continuación,$\exists q\in \mathbb{Q}$, de modo que $$\lim_{y\to x^+}f(y)>q>\lim_{y\to x^-}f(y)$$ (¿por qué???). Esto significa que $\exists \delta>0$ , de modo que $$x-\delta<y<x<z<x+\delta\implies f(z)>q>f(y)$$ y así (por qué?) $\exists n\in \mathbb{N}$ , de modo que $$x-\frac1n<y<x<z<x+\frac1n\implies f(z)>q>f(y)$$ Si dejamos $$A_{q,n}=\left\{x\in (a,b):x-\frac1n<y<x<z<x+\frac1n\implies f(z)>q>f(y)\right\}$$ ($q\in \mathbb{Q}$,$n\in \mathbb{N}$) entonces por nuestra discusión anterior $$A^{+}\subseteq\bigcup_{q\in \mathbb{Q}}\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{q,n}$$ Por lo tanto, el problema se traslada a demostrar que $A_{q,n}$ es contable. Esto se deduce del hecho de $A_{q,n}$ es aislado (mostrar esto!).

Answer 2

El argumento de abajo es esencialmente la descrita en el Robert Israel a publicar aquí, pero me retocarlo un poco para mostrar que no son sólo countably muchos extraíble discontinuidades así.

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función. La idea clave es que podemos controlar la cantidad de fluctuación en $f$ (y por tanto el tamaño de los saltos) a la izquierda (resp., a la derecha) lateral de un punto de $x$ donde el límite de izquierda (resp., a la derecha el límite existe, tomando puntos suficientemente cerca de a $x$. No podemos garantizar que no hay saltos en un barrio de un salto de discontinuidad; por ejemplo, la función de $g:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}$ dada por

$$g(x) = \begin{cases} \phantom{-}1 & \text{if}\ x\leq0 \\ 1/n & \text{if}\ n \text{ is a positive integer and } 1/(n+1)<x\leq 1/n \end{casos}$$

tiene un salto de discontinuidad y en cada barrio de $0$ (más patológicos ejemplo se da en iballa el comentario sobre Koushik del puesto; ver también Brian Scott post aquí para más detalles). Sin embargo, es cierto que podemos hacer saltos alrededor de un salto de discontinuidad tan pequeño como se desee tomando suficientemente pequeño barrio (pero en realidad solo uso un poco más débil resultado, vea a continuación). Para ello, tomamos nota de que la definición de la izquierda del límite y de la desigualdad de triángulo dar la

Lema. Si $f(x-)=\lim_{t\rightarrow x^-} f(t)$ existe entonces para cualquier $\varepsilon > 0$ tenemos algunos $\delta>0$ tal que $$\mathrm{diam} f(x-\delta,x) < \varepsilon. \Box$$

Ahora para cualquier $x\in\mathbb{R}$ donde $f(x-), f(x+)$ existen, poner

$$M(x)=\max\{|f(x)-f(x-)|,|f(x)-f(x+)|\},$$

y para cualquier $\varepsilon>0$, vamos

$$\mathcal{J}(\varepsilon)=\{ x\in\mathbb{R} : f(x-),f(x+) \text{ exist and } M(x)>\varepsilon \}.$$

Desde cualquier punto de $x$ a que de un salto o discontinuidad removible se produce se encuentra en $\bigcup_n \mathcal{J}(1/n),$ es suficiente para mostrar que cada una de las $\mathcal{J}(\varepsilon)$ es contable. Fix $x\in\mathcal{J}(\varepsilon)$ y tome $\delta>0$ tal que $\mathrm{diam} f(x-\delta,x) < \varepsilon.$ Si $t_0$ es un elemento de $(x-\delta, x)$ tal que $f(t_0-), f(t_0+)$ existen entonces las secuencias de $f(t_0-1/n), f(t_0+1/n)$ eventualmente encuentran en

$$f(x-\delta,x) \subset [f(t_0)-\varepsilon, f(t_0)+\varepsilon],$$

así que

$$f(t_0 -)=\lim_{n\rightarrow\infty} f(t_0-1/n) \in [f(t_0)-\varepsilon, f(t_0)+\varepsilon]$$

y

$$f(t_0 +)=\lim_{n\rightarrow\infty} f(t_0+1/n) \in [f(t_0)-\varepsilon, f(t_0)+\varepsilon].$$

En consecuencia, tenemos $M(t_0)\leq\varepsilon$, y podemos deducir que $(x-\delta, x)$ $\mathcal{J}(\varepsilon)$ son disjuntas. Dejando $q_x$ ser cualquier número racional en $(x-\delta, x),$ el mapa de $x\mapsto q_x$ da una inyección de $\mathcal{J}(\varepsilon)\rightarrow\mathbb{Q},$ completar la prueba.

Answer 3

cualquier salto de discontinuidad tiene un barrio con ningún otro salto de discontinuidad, Asociado a cada barrio un número racional dentro de eso.así que hay un bijection entre un subconjunto de los racionales y el salto de discontinuidad.