Estoy teniendo problemas para hacer real los cálculos de la retirada de $k$-forma. Sé que un determinado mapa diferenciable $\alpha: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ induce un mapa de $\alpha^{*}: \Omega^{k}(\mathbb{R}^{n}) \rightarrow \Omega^{k}(\mathbb{R}^{m})$ entre $k$-formas. Puedo recitar de cómo este mapa se define y entiende por qué está bien definido, pero cuando estoy en una determinada $\alpha$ y $\omega \en \Omega^{k}(\mathbb{R}^{n})$, no puedo calcular $\alpha^{*}\omega$.
Por ejemplo, he encontrado un ejercicio (Análisis de los Colectores, por Munkres) donde $\omega = xy \, dx + 2z \, dy - y \, dz\en \Omega^{k}(\mathbb{R}^{3})$ y $\alpha: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ se define como $\alpha(u, v) = (uv, u^{2}, 3u + v)$, pero me perdí por la ampliación de la definición de $\alpha^{*} \omega$. ¿Cómo puedo calcular esto?
Nota: Este ejercicio no es una tarea, así que siéntase libre para ilustrar el proceso con las $\alpha$ y $\omega$ desee.
