Mostrando $\sup \{ \sin n \mid n\in \mathbb N \} =1$

Question

Cómo demostrar $\sup \{ \sin n \mid n\in \mathbb N \} =1$

Answer 1

Si $\alpha$ es un número irracional, entonces $\{ \operatorname{fractional part}(n\alpha) : n \in\mathbb{N} \}$ es denso en $(0,1)$ .

Dejemos que $\alpha = 1/(2\pi)$ . Entonces, para cada intervalo abierto sobre $1/4$ por pequeño que sea, hay algo de $n$ tal que $\operatorname{fractional part}(n\alpha)$ está en ese intervalo. Cuando $n/(2\pi)$ está cerca de $1/4$ entonces $n$ está cerca de $\pi/2$ por lo que (dado que la función seno es continua) $\sin n$ está cerca de $1$ .

¿Cómo se puede probar la afirmación de mi primer párrafo anterior? Creo que el libro de Dym & McKean sobre las transformadas de Fourier da una prueba utilizando las transformadas de Fourier.

También está la cuestión de cómo demostrar que $\pi$ y por lo tanto $1/(2\pi)$ es irracional. http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

En lenguaje épsilon-delta: Sea $\varepsilon>0$ . Como el seno es continuo, existe $\delta>0$ de manera que si $\pi/2-\delta<x<\pi/2+\delta$ entonces $1 \ge \sin x > 1-\varepsilon$ (la primera desigualdad no proviene de la continuidad, sino del comportamiento conocido de la función seno). Dado que $\{ \operatorname{fractional part}(n\alpha) : n \in\mathbb{N} \}$ es denso en $(0,1)$ existe $n$ tal que $n/(2\pi)$ está entre $1/4 \pm \delta/(2\pi)$ . Así que $n$ está entre $\pi/2\pm\delta$ y así $\sin n > 1-\varepsilon$ .

Así que por cada $\varepsilon>0$ el sup deseado es $>1-\varepsilon$ pero $\le 1$ .

Answer 2

Edición: Basándome en la sugerencia de uno de los comentarios, y en el hecho de que esta respuesta es falsa, me gustaría señalar aquí en blanco y negro que esta respuesta es terrible. Si alguien está buscando una respuesta a esta pregunta, mire las otras. Esta nunca debería haber sido aceptada.

No es una prueba exactamente, pero recuerda $\forall_{\epsilon>0}$ puede encontrar un elemento $\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}$ tal que $|\frac{p}{q}-\frac{\pi}{2}|<\epsilon$

Así que también podemos encontrar un elemento en $\mathbb{N}$ que está arbitrariamente cerca de $\frac{\pi}{2}\mod 2\pi$ . Como el seno es continuo, si encontramos una secuencia de números naturales $a_n$ que se acerca a $\frac{\pi}{2}\mod 2\pi$ como límite, entonces $\sin{a_n}$ enfoques 1. Así, $$\sup \{ \sin n |\ n\in \mathbb \{a_{m\in\mathbb{N}}\} \} =1$$ y como $\{a_{m\in\mathbb{N}}\}\subset\mathbb{N}$ entonces el supremum sobre todo N es al menos igual de grande. Como el seno está limitado desde arriba por 1, hemos terminado.

Mucho trabajo manual, pero deberías ser capaz de recoger los trozos intermedios.

Answer 3

Puedes utilizar el teorema de Dirichlet. Dado $\alpha\in \mathbb R$ y un número entero positivo $N$ hay enteros $p,q$ con $1\leq q \leq N$ tal que $$ |q\alpha-p|< \frac1N. $$ Esto puede demostrarse fácilmente mediante el encasillamiento. Véase

https://proofwiki.org/wiki/Dirichlet%27s_Approximation_Theorem