Tenga en cuenta que
$$t^{34}-1=(t^{33}+t^{31}+\cdots+t+1)(t-1)$$
y así, sustituyendo $t=x^3$, obtenemos
$$x^{102}-1=(x^{99}+x^{96}+\cdots+x^3+1)(x^3-1)$$
Por lo que cualquier raíz real de $x^{99}+x^{96}+\cdots+x^3+1$ será una raíz real de $x^{102}-1$ (y aquellos que deberían ser fáciles de encontrar). Pero tenga en cuenta que, por ejemplo, $1$ es una raíz real de $x^{102}-1$, pero no es una raíz de $x^{99}+x^{96}+\cdots+x^3+1$, ya que el $34=1+1+\cdots+1\neq0$. Así, una vez que encuentre las raíces reales de $x^{102}-1$ y determinar cual de ellos es, de hecho, a raíz de la $x^{99}+x^{96}+\cdots+x^3+1$, se puede combinar con las verdaderas raíces de $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ para obtener la respuesta.
Para factorizar $x^{99}+x^{96}+\cdots+x^3+1$ en irreducibles sobre $\mathbb{Z}$ (lo que, resulta, es equivalente a la factorización en irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ en este caso), usamos el hecho de que
$$x^{99}+x^{96}+\cdots+x^3+1=\frac{x^{102}-1}{x^3-1}$$
combinado con el hecho de que
$$x^{102}-1=\prod_{d\mid 102}\Phi_d(x)=\Phi_{102}(x)\Phi_{51}(x)\Phi_{34}(x)\Phi_{17}(x)\Phi_6(x)\Phi_3(x)\Phi_2(x)\Phi_1(x)$$
donde $\Phi_d(x)$ es el $d$th cyclotomic polinomio. El cyclotomic polinomios son todos irreductible $\mathbb{Q}$. Cualquier polinomio irreducible en $\mathbb{R}[x]$, sin embargo, es un lineal $x-a$$a\in\mathbb{R}$, o una ecuación cuadrática $x^2+ax+b$ que $a^2-4b<0$. La factorización en irreducibles sobre $\mathbb{R}$ es sólo $(x-1)$, $(x+1)$, y luego un montón de cuadráticas $$x^2-(\zeta_{102}^k+\overline{\zeta_{102}}^k)x+1=(x-\zeta_{102}^k)(x-\overline{\zeta_{102}}^k)$$
donde $\zeta_{102}$ es una primitiva $102$th raíz de la unidad y de la $0<k<51$.
Por supuesto, la factorización en irreducibles sobre $\mathbb{C}$ es sólo
$$(x-1)(x-\zeta_{102})(x-\zeta_{102}^2)\cdots(x-\zeta_{102}^{50})(x+1)(x-\zeta_{102}^{52})\cdots(x-\zeta_{102}^{101})$$
Wolfram Alpha tiene una impresión agradable con el conjugado de a pares, puede ser útil.
