No muy seguro de lo $k[x]$-módulo.

Question

Deje $A = k[x]$ donde $k$ es un campo. A continuación, una $A$-módulo es sólo una $k$-espacio vectorial $V$ equipada con un $k$-lineal mapa de $\widehat{x}: V \to V$.

Esta declaración no está claro para mí. Podría alguien ayudar a elaborar todo esto para mí?

Answer 1

Voy a escribir $T$ en lugar de $\widehat{x}$ en todas partes.

Dado un $k$-espacio vectorial $V$ junto con una transformación lineal $T$, podemos dar la $V$ la estructura de una $k[x]$-módulo de la siguiente manera: $k$ actúa en $V$ por la multiplicación escalar, y $x$ actúa en $V$$T$. Esto nos dice cómo nada en $k[x]$ actos, ya que todo lo en $k[x]$ es una suma de productos de escalares y $x$'s.

A la inversa, dada una $k[x]$-módulo de $M$, podemos ver que $M$ viene con una acción de $k$, por lo que es un espacio vectorial. Escribir $T$ para el mapa de $M \to M$ dado por la multiplicación por $x$. Entonces, desde el $k[x]$ es conmutativa, $T$ $k$- lineal para la mencionada $k$ estructura de espacio vectorial.

Estos dos procesos son inversos el uno al otro. Por lo tanto, $k[x]$-módulos "son la misma cosa como" espacios vectoriales junto con una transformación lineal $T$ (donde "son la misma cosa" significa: hay un canónica de la identificación de estas dos categorías).

Answer 2

Por la definición habitual, una $A$-módulo es un grupo abelian $V$ junto con una acción de $A$. La acción está dada por un anillo homomorphism $A\to \operatorname{End}(V)$.

En el caso particular de la $A=k[x]$, recordemos que el polynomialk anillo se define por una característica universal: $k[x]$ es un anillo junto con un homomoprhism $i\colon k\to k[x$ y un elemento especial $x\in k[x]$, tal que para cualquier anillo homomorphims $f\colon k\to Y$ y la elección de un elemento de $\hat x\in Y$, existe exactamente un anillo homomorphism $h\colon k[x]$ tal que $h\circ i=f$$h(x)=\hat x$.

Así la acción de $k[x]$ $V$ es administrado por un anillo de homorphism $k\to \operatorname{End}(V)$ y un endomorfismo $\hat x\in\operatorname{End}(V)$. Ahora como $k\to \operatorname{End}(V)$ es una acción de un campo en un grupo abelian $V$, solo podemos decir que $V$ $k$- espacio vectorial. Y ahí estamos: $A$- módulo es una $k$-espacio vectorial $V$ junto con un $k$-lineal mapa de $\hat x\colon V\to V$.

Answer 3

Deje $V^+$ el valor del subyacente Abelian grupo de $V$.

Visualización de $k$ simplemente como un anillo conmutativo con un $1$ (el campo de propiedad de $k$ es meramente una distracción aquí), una $k[x]$-módulo ("esencialmente") un anillo homomorphism $k[x] \to \operatorname{End}(V^+)$.

Por la característica universal del polinomio anillos - de nuevo, el campo de la propiedad de $k$ desempeña ninguna parte - no es exactamente un ejemplo homomorphism que (a) se extiende en un determinado anillo homomorphism $k \to \operatorname{End}(V^+)$ y (b) mapas de $x$ a arbitrariamente un elemento dado de $\operatorname{End}(V^+)$.

Pero un anillo homomorphism $k \to \operatorname{End}(V^+)$ es (de nuevo, "esencialmente") $k$- módulo, es decir, debido a $k$ pasa a ser un campo, es una $k$-espacio vectorial.

Por lo tanto, una $k[x]$-módulo está determinada por dos "datos": (a) un $k$-espacio vectorial, que se extiende, más (b) cualquier elemento de $\operatorname{End}(V^+)$, lo que representa la multiplicación por escalares $x$.