Integral de la desigualdad de $\int_{0}^{1}h(x)^2dx\int_{0}^{1}x^2h(x)^2dx\ge c\left(\int_{0}^{1}h(x)dx\right)^4$

Question

¿Existe un número $c>0$ tal que para cada función medible $h:[0,1]\to\mathbb{R}$, $h(x)\ge 0~\forall x$, tenemos $$\int_{0}^{1}h(x)^2dx\int_{0}^{1}x^2h(x)^2dx\ge c\left(\int_{0}^{1}h(x)dx\right)^4~~~~?$$

Answer 1

El siguiente es Problema 7.1 en "El Cauchy Schwarz Master Class" por J. Michael Steele: Mostrar $$\int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(t\right)\right|\, dt\leq8^{1/2}\cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(t\right)\right|^{2}\, dt\right)^{1/4}\cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}\left|t\cdot f\left(t\right)\right|^{2}\, dt\right)^{1/4}.$$ Es fácil ver que esta desigualdad implica que su reclamo.

La prueba es el siguiente: dividimos el dominio de integración en $T=\left(-t,t\right)$$T^{c}$. Mediante el Cauchy Schwarz la desigualdad, obtenemos $$\int_{T}\left|f\left(t\right)\right|\, dt=\int_{T}1\cdot\left|f\left(t\right)\right|\, dt\leq\sqrt{\int_{T}1^{2}\, dt}\cdot\sqrt{\int_{T}\left|f\left(t\right)\right|^{2}\, dt}\leq\sqrt{2}\cdot\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(t\right)\right|^{2}\, dt}$$ y $$\begin{eqnarray*} \int_{T^{c}}\left|f\left(t\right)\right|\, dt & = & \int_{T^{c}}\frac{1}{\left|t\right|}\cdot\left|t\cdot f\left(t\right)\right|\, dt\\ & \leq & \sqrt{\int_{T^{c}}\frac{1}{t^{2}}\, dt}\cdot\sqrt{\int_{T^{c}}\left|t\cdot f\left(t\right)\right|^{2}\, dt}\\ & \leq & \sqrt{\frac{2}{t}}\cdot\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}\left|t\cdot f\left(t\right)\right|^{2}\, dt}. \end{eqnarray*}$$ Por lo tanto, $$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(t\right)\right|\, dt & = & \int_{T}\left|f\left(t\right)\right|\, dt+\int_{T^{c}}\left|f\left(t\right)\right|\, dt\\ & \leq & \sqrt{2t}\cdot A^{1/2}+\sqrt{\frac{2}{t}}\cdot B^{1/2}=:\varphi\left(t\right) \end{eqnarray*}$$ con $A:=\int_{-\infty}^{\infty}\left|f\left(t\right)\right|^{2}\, dt$ y $B:=\int_{-\infty}^{\infty}\left|t\cdot f\left(t\right)\right|^{2}\, dt$.

Mediante el establecimiento $t_{0}=B^{1/4}/A^{1/4}$ (esta opción se puede encontrar mediante la optimización de $\varphi$ utilizando el cálculo), obtenemos $$\varphi\left(t_{0}\right)=\sqrt{2}\frac{A^{1/2}B^{1/4}}{A^{1/4}}+\sqrt{2}\frac{B^{1/2}A^{1/4}}{B^{1/4}}=2\sqrt{2}A^{1/4}B^{1/4}=8^{1/2}A^{1/4}B^{1/4},$$ lo que completa la prueba.

Esta técnica de dividir el dominio de integración mediante la introducción de un parámetro y optimización con respecto a este parámetro en el final es digno de recordar.