Dada una variable aleatoria $X=(X_1,...,X_p)$ $P(X \in M) = 1$ compacto $M$, hacer los valores de $E[X_1]$, $E[X_2], ..., E[X_1^2], E[X_1 X_2],..., E[X_1^3],...,E[X_1 X_2 X_3]... $ determinar la distribución de $F(x)=P(X_1 \leq x_1 \wedge \dots\wedge X_p \leq x_p)$ única?
Respuesta
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La respuesta es "sí".
Cada distribución de probabilidad $\mu$ $M$ se caracteriza por la integración en contra de funciones continuas, es decir, si $\int_M f(x)\, \mu(dx)= \int_M f(x)\, \nu(dx)$ para todos los continuos $f$,$\mu=\nu$.
Ahora el Stone-Weierstrass teorema dice que cualquier continua $f$ $M$ se puede aproximar uniformemente por polinomios. Por lo tanto, si $\int_M p(x)\, \mu(dx)= \int_M p(x)\, \nu(dx)$ para todos los polinomios $p$,$\mu=\nu$.
