Resolver $\sin(5A) + \cos(5A)\sin(A) - \cos(3A) = 0$

Question

Cómo se resuelve esta ecuación para A: $~~\sin(5A) + \cos(5A)\sin(A) - \cos(3A) = 0$

He intentado ampliarlo muchas veces, pero no consigo reducirlo a un formato con el que pueda trabajar. ¿Existe un método de solución más simple que la expansión repetida?

Answer 1

$$ \sin(5A) + \cos(5A) \sin(A) - \sin(3A) = 0 $$ Dejemos que $ x = e^{iA} $ y usar la de De Moivre, $$ \frac{x^5 - x^{-5}}{2i} + \frac{x^5 + x^{-5}}{2} \frac{x - x^{-1}}{2i} - \frac{x^3-x^{-3}}{2i} = 0 $$ Multiplicar por $ 4i x^6 $ , $$ 2(x^{11} - x) + (x^{10} + 1)(x^2 - 1) - 2(x^9 - x^3) = $$ $$ (x^2 - 1)(x^{10} + 2x^9 + 2x + 1) = 0 $$ La fase de cada raíz del polinomio anterior (las que tienen $ | x | = 1 $ al menos) es una solución $ A $ a su ecuación (hasta una suma entera de $ 2\pi $ ).

Answer 2

Pruebe a utilizar $\cos{A} = \sin\frac{\pi}{2}-A$ y el $\sin{A} + \sin{B}$ o $\cos{A} + \cos{B}$ fórmulas. También puede escribir $2 \cos{A}\sin{B} = \sin(A+B) - \sin(A-B)$ que, de hecho, reducirá $\cos{5A}\cdot\sin(A)$ .

Answer 3

Wolfram Alpha da un explícito $12^{\text{th}}$ de orden y encuentra diez raíces reales.