¿Cómo funciona el geométrica del producto de trabajo? Incoherente/circular?

Question

Estoy tratando de aprender Álgebra Geométrica de los libros de texto por Doran y Lasenby.

Dicen en el capítulo 4 que la geometría del producto $ab$ entre los dos vectores $a$ $b$ se define de acuerdo a los axiomas i) asociatividad: $(ab)c = a(bc) = abc$ ii) distributiva sobre la suma: $a(b+c) = ab+ac$ iii) El cuadrado de cualquier vector es un escalar real

Luego dicen que el interior y el exterior del producto se define como $ a \cdot b = \frac{1}{2} (ab+ba) $ $ a \wedge b = \frac{1}{2} (ab-ba) $ así que $ a b = a \cdot b + a \wedge b $

Mi problema es que si se tienen dos vectores, dicen $ a = 1e_1 + 3 e_2 - 2e_3 $ $ b = 5e_1 -2 e_2 + 1e_3 $

Cómo calcular $ab$?

Quiero decir, entonces usted tiene que especificar cómo o bien $ a \cdot b $ $ a \wedge b $ trabaja, o de cómo (en detalle) $ a b $ se deben realizar.

Este es mi punto de vista, circular.

Desde otro punto de vista, decir que usted comienza hacia atrás definiendo el interior y exterior del producto y, a continuación, definir la geometría del producto como $ a b = a \cdot b + a \wedge b $

Entonces, ¿cómo demostrar que la geometría del producto es asociativo? La definición habitual de la parte externa del producto es asociativo, pero la definición habitual de la parte interior (dot) el producto NO es asociativa. Entonces, ¿cómo demostrar que la geometría del producto es asociativo si usted toma el interior y exterior del producto como punto de partida para el geométrica del producto?

Muchas gracias de antemano por cualquier tipo de comentarios

Answer 1

Utilizar los axiomas i, ii, y iii para calcular la geometría del producto. El punto y la cuña de productos puede entonces ser calculada.

Considere la posibilidad de $u = 3e_1 + 2e_2$$v = -e_1 + 4e_2$.

Entonces, por axiomas (i) y (ii), podemos escribir

$$uv = 3e_1 e_1 + 12 e_1 e_2 + 2 e_2 e_1 + 8 e_2 e_2.$$

Esto distribuye sobre la suma y gotas paréntesis, ya que sería redundante o innecesaria.

Ahora, usando el axioma (iii), podemos evaluar los productos de $e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1$ para obtener

$$uv = 3 + 12 e_1 e_2 + 2 e_2 e_1 + 8.$$

Ahora, para simplificar más, normalmente utilizamos un derivado del resultado: deje $x,y$ ser vectores, y considerar la geometría del producto

$$(x+y)(x+y) = xx + xy + yx + yy$$

Vamos a modificar axioma (iii) un poco: no es suficiente que el producto de un vector consigo mismo ser un escalar. Más bien, suponemos la presencia de algunos bilineal simétrica (por lo general positiva definida, pero en pseudo-geometría de Riemann, esta condición es relajado), por lo que debe existir algún mapa en $g: V\times V \to K$, e $xx = g(x,x)$ cualquier $x$.

Por lo tanto, podemos considerar el caso en que $g(x,y) = 0$ o $x \perp y$ en otras palabras. Entonces

$$(x+y)(x+y) = g(x+y, x+y) = g(x,x) + g(y,y) = xx + yy$$

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que, cuando se $x \perp y$ bajo $g$, $xy = -yx$. Este resultado se utiliza a menudo en la simplificación geométrica de productos. Aplicación a nuestro problema original de los rendimientos

$$uv = 11 + 10 e_1 e_2$$

y, a su vez,

$$vu = 11 - 10 e_1 e_2$$

a partir de la cual el punto y la cuña de productos puede ser calculada.

Sin embargo, a diferencia de Doran y Lasenby, por lo general, prefiero no utilizar las definiciones de los productos. Yo suelo calcular el punto y la cuña de productos en términos de calidad de las proyecciones. Las propiedades de simetría de cambio con los grados, lo cual hace que esas reglas casi sin sentido, en mi opinión.