Demostrar que para cualquier polinomio $P(x)$ existen polinomios $F(x)$ y $G(x)$ tal que $F\left(G(x) \right)-G\left(F(x) \right)=P(x)$

Question

Demostrar que para cualquier polinomio $P(x)$ existen polinomios $F(x)$ y $G(x)$ tal que $\forall x \in \mathbb R$ , $$F\big(G(x) \big)-G\big(F(x) \big)=P(x)\,.$$

Mi trabajo hasta ahora:

Dejemos que $G(x)=x+1$ . Entonces $$F(x+1)-F(x)=P(x)+1\,.$$ Necesito ayuda aquí.

Answer 1

Estoy asumiendo que usted está trabajando en $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ o cualquier campo característico $0$ . Escriba $$P(x)+1=\sum_{r=0}^k\,c_r\,\binom{x}{r}$$ para algún entero no negativo $k$ y para algunas constantes $c_0,c_1,\ldots,c_k$ . (Estas constantes existen porque $\binom{x}{r}$ para $r=0,1,2,\ldots$ abarcan el espacio vectorial de los polinomios en $x$ .) Demuestre que $$F(x):=\sum_{r=0}^k\,c_r\,\binom{x}{r+1}$$ cumple la condición $F(x+1)-F(x)=P(x)+1$ . Aquí, $$\binom{x}{r}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-r+1)}{r!}$$ para $r=0,1,2,\ldots$ .

Una pista: Verifique que $\displaystyle \binom{x+1}{r+1}=\binom{x}{r+1}+\binom{x}{r}$ por cada $r=0,1,2,\ldots$ .

P.D: Me interesaría mucho ver si la afirmación sigue siendo válida si el campo es de característica positiva.

Answer 2

Una solución diferente de la (excelente) solución de Batominovski (en la característica cero). Sea $E_n$ sea el espacio de los polinomios de grado $\leq n$ . Elija $n>$ el grado de $P$ . Entonces el mapa $T$ definido por $$T(Q)=Q(x+1)-Q(x)$$ es una aplicación lineal sobreyectiva de $E_n$ a $E_{n-1}$ como la imagen del polinomio $x^m$ para $m\geq 1$ es $$U_m=(x+1)^m-x^m=mx^{m-1}+\ldots$$ y claramente los polinomios $U_m$ , para $m=1,\cdots,n$ es una base de $E_{n-1}$ . Como $1+P$ está en $E_{n-1}$ hemos terminado.

Answer 3

Sugerencia $\ $ Al igual que el derivado, el lineal operador $\, D f(x) = f(x\!+\!1) - f(x) \,$ actúa sobre los polinomios disminuyendo el grado en $1,\,$ desde $\,D x^n = (x+1)^n-x^n = c_n x^{n-1} +g(x)\,$ con $\,c_n\neq 0,\,\deg g < n-1$ . Para cualquier operador lineal se pueden resolver ecuaciones de la forma $\, D f(x) = g(x)\,$ para un polinomio dado $g$ utilizando coeficientes indeterminados e inducción, por ejemplo

$$ g_n x^n+\cdots = D (f_{n+1} x^{n+1} + \cdots) = c_{n+1} f_{n+1} x^n + \cdots\,\Rightarrow\, f_{n+1} = g_n/c_{n+1}$$

Sustituyendo ese valor por $\,f_{n+1}\,$ reducimos a un problema de menor grado $\,g$