Para las holomorfas $f$ , $f(\frac{z}{2})= \frac{1}{2}f(z) \Longrightarrow f(z) = z$

Question

Dejemos que $f$ sea una función holomorfa sobre el disco unitario abierto $\mathbb{D}$ y continua en $\mathbb{\overline{D}}$ . Si $f(\frac{z}{2})= \frac{1}{2}f(z)$ para todos $z\in \mathbb{\overline{D}}$ y $f(1)=1$ entonces $f(z)=z$ para todos $z\in \mathbb{\overline{D}}$ .

Tengo esto como tarea. Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Desde $f$ es holomorfo tiene una única representación en serie de potencias alrededor del origen, $$ f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k. $$ Desde $f\left(\dfrac{z}{2}\right)=\dfrac{1}{2} f(z)$ obtenemos $$ \frac{c_k}{2^k}=\frac{1}{2}c_k,\quad k=0,1,\ldots. $$ De ello obtenemos $c_k=0$ si $k\neq 1$ . Por lo tanto, $f(z)=c_1z$ . Sabemos que $f(1)=1$ . Así, $c_1=1$ y $f(z)=z$ .

Answer 2

Otra forma de ver esto es que se da que $f(z) - z = 0$ para $z = 1$ . A continuación, utilice la condición de que $f(z/2) = {1 \over 2}f(z)$ para demostrar inductivamente que $f(z) - z$ también tiene ceros en $z = 2^{-n}$ para todos los enteros positivos $n$ . Así, los ceros de $f(z) - z$ tienen un punto de acumulación en $z = 0$ que sólo es posible si $f(z) - z = 0$ para todos $z$ ya que las funciones analíticas no nulas sólo pueden tener ceros aislados.