Todavía hay mucho que explorar en el área de la partición de cálculo.
La notación $$\alpha\(\beta\gamma)^2$$ significa que si uno de los colores de los $2$-elemento subconjuntos de $\alpha$, con dos colores, rojo y azul, entonces no es un $H\subseteq\alpha$, todos de cuyo $2$-tamaño de los subconjuntos tienen el mismo color y el color es rojo y $H$ es de orden tipo $\beta$, o el color es azul y $H$ es de orden tipo $\gamma$. (Si el superíndice si $n$ en lugar de los $2$, entonces, que en lugar de color de la $$n-tamaño de los subconjuntos, y pedir conjuntos todas las de cuyo $$n-tamaño de los subconjuntos tienen el mismo color.)
El más pequeño de $\alpha$ tal que $\alpha\(\beta\gamma)^2$ es llamado el número de Ramsey de $\beta$ y $\gamma$, generalmente denota $r(\beta\gamma)$. Por ejemplo, $r(3,3)=6$, usualmente se expresa diciendo que en alguna parte de los $6$ la gente, hay al menos $3$ que se conocen el uno al otro, o al menos $3$ que no saben el uno del otro, y que este no es el caso si la parte sólo tiene $5$ a la gente. Ramsey demostrado que $r(\omega\omega)=\omega$ (la flecha de la notación de la misma es debido a Rado).
El Erdős-Rado teorema asegura que por cada $\beta\gamma$, hay algunos $\alpha$ tal que $\alpha\(\beta\gamma)^2$, entonces $r(\beta\gamma)$ existe. Uno tiene que $r(\omega\omega+1)=\omega_1$ pero, por un resultado de Erdős-Milner, $r(\beta,n)$ es contable si $\beta<\omega_1$ y $n<\omega$.
una. El problema general es el estudio de los números $r(\beta,n)$. Su determinación exacta es conocida, por ejemplo, por $\beta<\omega^2$, en el sentido de que su cálculo se reduce a problemas de combinatoria finita (por otro lado, estos problemas parecen tan duro como el cálculo de la finita de números de Ramsey, que es notoriamente difícil en cuestión), pero muy pocos valores precisos han sido tabulados. Lo que se sabe es sobre todo debido en parte a Erdős-Rado (el estándar de referencia es Una partición de cálculo en la teoría de conjuntos, disponible aquí), y en parte a Haddad-Sabbagh. Lamentablemente, las pruebas de varios de los principales resultados nunca fueron publicados, a pesar de que hay una serie de anuncios por Haddad-Sabbagh, disponible en línea a través de Gallica: la bibliothèque numerique, aquí:
Labib Haddad y Gabriel Sabbagh. Calcul de ciertas nombres de Ramsey généralisés. C. R. Acad. Sci. París Sér. A-B, 268:A1233–A1234, 1969,
Labib Haddad y Gabriel Sabbagh. Nouveaux résultats sur les nombres de Ramsey généralisés. C. R. Acad. Sci. París Sér. A-B, 268:A1516–A1518, de 1969, y
Labib Haddad y Gabriel Sabbagh. Sur une extensión des nombres de Ramsey aux ordinaux. C. R. Acad. Sci. París Sér. A-B, 268:A1165–A1167, 1969.
(Estoy trabajando en una encuesta que debe presentar las pruebas de estos resultados. Un proyecto debe estar disponible a finales de Verano de 2014.)
Más allá de $\omega^2$, Thilo Weinert caracterizado recientemente $r(\omega^2 m,n)$, en el sentido de que su cálculo se reduce a problemas de combinatoria finita. Thilo del preprint, maravillosamente titulado Idiosynchromatic Poesía, pronto aparecerá en Combinatorica. Mientras tanto, puede ser descargado desde su página, actualmente alojado aquí. Su documento se cierra con una tabla que contiene todos los explícitamente conocido $r(\alpha,n)$. Creo que la tabla puede ser ampliado considerablemente, pero las nuevas ideas son necesarios como $\alpha$ sube a $\omega^\omega$.
Recientemente (Mayo de 2014), Thilo ha atraído mi atención a Eva Nosal del trabajo a partir de los años 70, en la computación de los números $k$ tal que $\omega^k \(\omega^3,n)^2$ y $\omega^k\(\omega^m, n)^2$ $5\le m \in \omega$. En su tesis doctoral, nos muestra que $\omega^6\no\(\omega^4,3)^2$. Por desgracia, aún no he tenido la oportunidad de estudiar sus resultados.
b. Es común llamar a la partición de los ordinales aquellos (contables) ordinales $\alpha$ tal que $$\alpha\(\alpha,3)^2$$ (la notación es probablemente debido a Schipperus). Specker demostrado que $\omega^2$ es la primera partición ordinal pasado $\omega$ y, de hecho, $\omega^2\(\omega^2,m)^2$ para todo $m<\omega$.
[Observación es necesaria, puesto que por desgracia inexacta edición fue añadido por los demás a mi respuesta: Esta prueba fue simplificado significativamente por Haddad-Sabbagh (en la primera de las notas mencionó anteriormente). En Haddad, en opinión de la nota recibido prácticamente ninguna atención (ver Haddad de Ramsey, para Auld Lang Syne, una escritura de una charla dada en el Rencontres arithmétique et combinatoire en Saint-Etienne, de junio de 2006, disponible en el arXiv aquí):
Como lo fue, la prueba fue escrito hacia abajo, desnudo, con no hay comentarios o sugerencias. Nuestra nota tiene muy poca atención, de hecho lo tengo casi ninguno! Así que no hay más detalles, nunca se publicó.
Pero esto no es cierto. El Haddad-Sabbagh argumento fue publicado en Neil Williams, la Combinatoria, la teoría de conjuntos a partir de 1977, y es considerada hoy en día el enfoque estándar. Después de trabajar por Galvin, Larson, y de otros, se puede ver claramente como la extensión de sus ideas, mientras que Specker original de la prueba es generalmente omitido en presentaciones o sólo se estudia en el contexto histórico.
Por otro lado, un concepto clave introducidas en Specker del papel que llevó a mucho más trabajo es lo que ahora llamamos la noción de fijación, que Specker utiliza para verificar que ninguna otra partición ordinales existen por debajo de $\omega^\omega$. Hay preguntas interesantes con esta idea, pero todos ellos implican incontables números ordinales en una forma esencial, así que no voy a discutir aquí.]
La siguiente partición ordinal es de $\omega^\omega$. Esto fue demostrado por Chang. Milner extendido esta en obra inédita hasta $\omega^\omega\(\omega^\omega), m)^2$ para todo $m<\omega$. Una buena prueba de este resultado fue dado por Jean Larson, que es la fuerza impulsora detrás de la investigación en esta área.
Galvin demostrado que, si $\alpha$ es una partición ordinal, entonces $\alpha=\omega^\beta$, donde $\beta$ es aditiva indecomposable. Baumgartner se llama partición ordinales de los contables de $\alpha$ tal que $\alpha\(\alpha), m)^2$ para todo $m<\omega$. Por un tiempo se espera que ambas definiciones son equivalentes, pero ahora sabemos que esto no es el caso, por ejemplo, Darby mostró que $\omega^{\omega^2}\(\omega^{\omega^2},3)^2$, pero es abierto si contable $\alpha>\omega^\omega$ es una partición ordinal en el sentido de Baumgartner. Esta es quizás la más importante pregunta abierta en la zona. Darby, Larson, y Schipperus han encontrado fuertes restricciones $\alpha$ debe satisfacer. Para una buena descripción general, véase la primera parte de estas diapositivas, a partir de una conversación con Jean.
c. La verdad es que hay muchas muy interesantes problemas aquí, y tengo que obligarme a parar. Aunque no es estrictamente en el espíritu de la pregunta, permítanme concluir mencionando $\omega_1$, donde la cuestión es, precisamente, lo que la partición de las relaciones de la forma $\omega_1\(\alpha,\beta)^n$ sostenga. Más en general, existen varias preguntas de interés y los resultados aquí (debido principalmente a Baumgartner-Hajnal, Galvin, Todorcevic, y Jones-Larson), acerca de la no-especiales parcial de las órdenes, de los cuales $\omega_1$ es un ejemplo. Decimos que un orden parcial $\phi$ es no-especial fib $$\phi\(\omega)^1_\omega$$ es decir, el fib siempre que $\phi$ es dividido en countably muchas de las piezas, al menos uno de ellos contiene una infinita cadena crecientes. El problema clave es si para un poset $\phi$ tenemos $\phi\(\alpha,n)^3$ para todos contable $\alpha$ y $n<\omega$.
(No se puede demostrar que si el subíndice es de $4 dólares o más, y casi todo lo que puede ser probado se sabe si el subíndice es 1 $$ o $2$.)
