Estadísticas de orden de uniforme discreta variables aleatorias

Question

Deje $X_i, i=1,\cdots,N$ ser yo.yo.d. uniforme discreta variables aleatorias, toma valores en el rango de $\{0,1,...,M-1\}$.

Deje $X_{(i)}$ el valor del $i$-ésimo orden de estadística.

¿Cuáles son los valores de $\displaystyle\mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^{N/2} X_{(i)}\right]$ $\displaystyle \mathbb{E}\left[\sum_{i=N/2 +1}^N X_{(i)}\right]$ al $N$ es grande?

---

Hice algunas simulaciones de Monte Carlo.

Parece que $$\displaystyle\frac{\displaystyle \mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^{N/2} X_{(i)}\right]}{\displaystyle \mathbb{E}\left[\sum_{i=N/2 +1}^N X_{(i)}\right]}$$ converge para algún valor, pero no soy capaz de obtener cualquier expresión analítica.

Answer 1

Fijo $M$, para un gran $N$ la mayoría de las $X_{(i)}$ tienen casi un determinado valor; sólo una fracción de la orden de $N^{\frac12}$ cerca de los valores de $i=k\frac NM$ con entero $k$ tiene una apreciable la probabilidad de tomar uno de dos valores diferentes. Estos sólo aportar una contribución del orden de $N^{-\frac12}$ a la relación, por lo que nos puede hacer caso omiso de ellos en el límite de $N\to\infty$ y sólo calcular con $\frac NM$ instancias de cada valor. A continuación, incluso para $M$

\begin{align} \frac{E\left[\sum_{i=1}^{N/2}X_{(i)}\right]}{E\left[\sum_{i=N/2+1}^NX_{(i)}\right]} \to_{N\to\infty}{}& \frac{\sum_{m=0}^{M/2-1}m}{\sum_{m=M/2}^{M-1}m} \\ ={}& \frac{\frac12\frac M2\left(\frac M2-1\right)}{\frac12M(M-1)-\frac12\frac M2\left(\frac M2-1\right)} \\ ={}& \frac{M(M-2)}{4M(M-1)-M(M-2)} \\ ={}& \frac{M-2}{3M-2} \\ ={}& \frac13-\frac4{3(3M-2)}\;, \end{align}

y por extraño $M$

\begin{align} \frac{E\left[\sum_{i=1}^{N/2}X_{(i)}\right]}{E\left[\sum_{i=N/2+1}^NX_{(i)}\right]} \to_{N\to\infty}{}& \frac{\sum_{m=0}^{(M-3)/2}m+\frac12\frac{M-1}2}{\frac12\frac{M-1}2+\sum_{m=(M+1)/2}^{M-1}m} \\ ={}& \frac{\frac12\frac{M-1}2\frac{M-3}2+\frac12\frac{M-1}2}{\frac12\frac{M-1}2+\frac12M(M-1)-\frac12\frac{M+1}2\cdot\frac{M-1}2} \\ ={}& \frac{(M-1)(M-3+2)}{(M-1)(2+4M-(M+1))} \\ ={}& \frac{M-1}{3M+1} \\ ={}& \frac13-\frac4{3(3M+1)}\;. \end{align}