La integridad y la convergencia de series de Fourier

Question

Considere la posibilidad de la pregunta: En un producto interior espacio de $V$, cuando hace la serie de Fourier de $x$, $\sum\limits_{n=1}^k\langle e_n,x\rangle e_n$ converge a$x$$k\to\infty$? Bueno, ciertamente, se converge para todos los $x$ si $V$ es un espacio de Hilbert. Pero lo que si $V$ no es un espacio de Hilbert? Es la integridad de la propiedad que un espacio de Hilbert posee necesarias para garantizar la serie de Fourier converge en $V$ todos los $x\in V$?

Podría no ser incompleta interior del espacio del producto $V$, por ejemplo, quizá $c_{00}$ - secuencias en $\mathbb{F}$ con un número finito distinto de cero entradas, junto con asociados interior del producto $\langle(a_n),(b_n)\rangle = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \overline{b_n}$. A continuación, elegimos el obviamente contables ortonormales. No es cierto que para cada una de las $x$ la serie de Fourier converge? Si este es el caso, entonces ¿qué podemos decir acerca de dicho producto interior espacio cuya serie de Fourier de $x$ converge para cualquier $x$ en el espacio, suponiendo que el espacio no es un espacio de Hilbert, es decir, no incluye? Es el punto de que estos espacios son arbitrarias y la integridad de la propiedad se nos garantiza la transformada de Fourier de la convergencia? Quizás espacios de Hilbert son, a su vez, más fácil de tratar en general porque nos garantiza agradable propiedades.

También (pregunta básica), podemos siempre encontrar un ONB de una bien definida interior del espacio del producto?

Edit: me acabo de dar cuenta de Gram-Schmidt hace esto por nosotros en todos los espacios de Hilbert. Supongo que la pregunta sigue siendo incompleto de producto interior de los espacios.

Pido disculpas por mi falta de habilidades de Látex....

Así que sí, un montón de preguntas. Ojalá alguien me puede decir si estoy en el derecho de las líneas de pensamiento. Gracias

Answer 1

Primero de todo, creo que es confuso para referirse a una arbitraria de la serie de la forma $\sum_n \langle e_n, x \rangle e_n$ como una serie de Fourier. Me gustaría reservar el nombre para el caso especial cuando $e_n$ son funciones trigonométricas.

Para responder a su segunda pregunta, en primer lugar, cualquier separables producto interior espacio, completa o no, tiene una base ortonormales (es decir, un ortonormales conjunto cuyo lineal span es denso). Acaba de recoger una contables subconjunto denso y aplicar el algoritmo de Gram-Schmidt.

(Un no-separables interior del espacio del producto puede no tener una base ortonormales, como Willie Wong comentario a continuación señala. Tengo este error en mi respuesta original. Gracias, Willie, para la corrección.)

Para tu primera pregunta, sí, en cualquier producto interior espacio, completa o no, si $\{e_n\}$ es un (contables) ortonormales base en el anterior sentido (de modo que el espacio es necesariamente separable), a continuación, $\sum_{n=1}^k \langle e_n, x \rangle e_n \to x$ en la norma. Desde el lapso de $\{e_n\}$ es densa, por cualquier $\epsilon$ existe un entero $k$ $a_1, \dots, a_k$ tal que $\lVert x - \sum_{n=1}^k a_n e_n\rVert^2 < \epsilon$. Por otro lado, un simple cálculo demuestra que $$\lVert x - \sum_{n=1}^k a_n e_n\rVert^2 - \lVert x - \sum_{n=1}^k \langle x, e_n \rangle e_n\rVert^2 = \sum_{n=1}^k |a_n - \langle x, e_n\rangle|^2 \ge 0$$ por lo tanto, tenemos $\lVert x - \sum_{n=1}^k \langle x, e_n \rangle e_n\rVert^2 < \epsilon$. Un argumento similar se muestran también que $\lVert x - \sum_{n=1}^k \langle x, e_n \rangle e_n\rVert^2$ es no creciente con $k$, y así podemos obtener la deseada convergencia.

Answer 2

Me 'll sólo uso la moda antigua notación. Para empezar, la serie de Fourier es acerca de la expansión de una función periódica. Para los no-funciones periódicas que tienen un continuo Su función de $f(x)=x$ definida para todos los $\mathbb{R}$ no es periódica. Usted puede hacer una función periódica de ella, $g(x)$ suponiendo un período de decir $2L$. Luego de obtener un $C^1$ función que puede ser ampliada como una serie de fourier $$ g(x)=-\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} \sin \frac{n \pi x}L, -L\le x \le L $$ que converge, pero no absolutamente. La serie de Fourier se pointwise convergen todas partes a una función continua. Incluso se converge a una función discontinua con en la mayoría de los contables del número de discontinuidades en todas partes, excepto en los puntos de discontinuouity, en el cual convergen a la media de la izquierda y a la derecha el límite de la función.

Acerca de su próxima pregunta que usted puede pensar en secuencias como mapas de $\mathbb{N}$ a un poco de espacio a decir $\mathbb{S}$. Si una secuencia converge podría converger a un punto en $\mathbb{S}$ o a algún punto no $\mathbb{S}$. Si $\mathbb{S}$ es completa que garantiza que todos convergen secuencias tendrá un límite de $l \in \mathbb{S}$. Si tu espacio es incompleta, usted no tiene que.