¿Cuándo es apropiado utilizar el concepto de "masa efectiva"?

Question

En los libros de texto, la escala de longitud característica de un excitón, o un electrón unido a un átomo dopante, en el silicio se calcula por analogía con el caso del vacío.

Radio de Bohr en el vacío:

$$a_0 = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_0 e^2} = 0.53\ {\rm Å}$$

donde $\varepsilon_0$ es la permitividad del vacío, $m_0$ es la masa del electrón, y $e$ es la carga del electrón.

Radio de bohr del excitón en el material:

$$a = \frac{4 \pi \varepsilon_{\mathrm{r}} \varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} = a_0 \varepsilon_{\mathrm{r}} \frac{m_0}{m_e}$$

donde $\varepsilon_{\mathrm{r}}$ es la permitividad relativa, y $m_e$ es la masa efectiva del electrón en el material.

Para el silicio, se pueden buscar en una tabla de propiedades y son:

$$\varepsilon_{\mathrm{r}} = 11.7$$

$$m_e = 0.26 m_0$$

Lo que da:

$$a = \frac{11.7}{0.26} 0.53\ {\rm Å} = 23.85\ {\rm Å}$$

Sin embargo, la evidencia experimental sugiere un radio de excitón de $4.3\ \mathrm{nm}$ en silicio (según Yoffe, AD. Advances in Physics, 42(2) pg 173, 1993). A mí me parece que esto no es así.

¿La idea de masa efectiva no es del todo apropiada para esta analogía?
Y más concretamente, ¿qué ocurre en los sistemas de fermiones pesados, donde la masa efectiva del electrón puede ser incluso mayor que la de un muón? Esto daría una escala increíblemente pequeña para el radio del excitón o del defecto ligado.

Answer 1

Querido John, ten en cuenta que 23,85 Å es igual a 2,385 nm, mientras que los 4,3 nm observados son aproximadamente dos veces mayores.

Hay un simple error en su cálculo que fija exactamente el factor de dos. Tenga en cuenta que el cálculo real que debería haber hecho tiene un radio proporcional a $1/m$ y la correcta $m$ que debes sustituir es la masa reducida del problema de dos cuerpos que rige la posición relativa de las dos partículas.

http://en.wikipedia.org/wiki/Reduced_mass

La masa reducida es $m_1 m_2 / (m_1+m_2)$ .

Ahora, el punto importante es que un excitón no es un estado ligado del electrón efectivo y un núcleo superpesado: en cambio, es un estado ligado de un electrón efectivo y un agujero efectivo - una contraparte más grande del positronio (un estado ligado electrón-positrón).

http://en.wikipedia.org/wiki/Exciton

Suponiendo que las masas del electrón y del agujero son iguales, 0,26 $m_0$ la masa reducida (y también efectiva) es de 0,26/2 $m_0$ = 0.13 $m_0$ y la resultante $a$ es el doble que tu resultado, 4,77 nm - suponiendo que tu aritmética sea correcta.

La desviación con respecto a los 4,3 nm no es demasiado grande, pero sólo puedo elucubrar si tratara de señalar la fuente más importante de la discrepancia. Podría tratarse de una masa efectiva diferente del agujero; efectos de tamaño finito causados por el hecho de que los átomos de silicio no estuvieran distribuidos de manera uniforme dentro del excitón, etc.

Actualización

Ah, de hecho, me he dado cuenta de que su tabla de propiedades sí incluye una cifra especial de la masa efectiva del agujero y difiere de la masa del electrón: 0,38 $m_0$ . Así que la masa reducida es $$\frac{0.38\times 0.26}{0.38+0.26} m_0 = \frac{0.0988}{0.64} m_0 = 0.154 m_0 $$ y el radio calculado es $$ \frac{11.7}{0.154} \times 0.53\ Å = 40.3\ Å. $$ Bueno, este es un 7% demasiado pequeño, igual que el anterior era un 7% demasiado grande. ;-)

Átomos de hidrógeno con fermiones pesados compuestos

En cuanto a su segunda pregunta, como se da cuenta claramente, el radio calculado del "átomo" con tales "electrones pesados" sería mucho menor que el del átomo ordinario. Esto también demuestra que los supuestos de tal cálculo fallan: los fermiones pesados (en la física de la materia condensada) son el resultado de la acción colectiva de muchos átomos sobre el electrón y su masa.

Así que la gran masa de los fermiones pesados sólo es apropiada para cuestiones de física a largas distancias, mucho más largas que el átomo ordinario. Si se mira a distancias muy cortas -un supuesto átomo diminuto con el fermión pesado- no se pueden utilizar las aproximaciones efectivas de larga distancia o de baja energía de la física de la materia condensada. Hay que volver a la descripción más fundamental, de corta distancia o de alta energía, que vuelve a ver los electrones.

En cualquier caso, descubrirás que no puede haber átomos supertintos creados a partir de las partículas efectivas como los fermiones pesados. La validez de todas estas teorías efectivas fenomenológicas -como las de los fermiones pesados- está limitada a los fenómenos a distancias mayores que un cierto corte específico y las distancias altamente subatómicas seguramente violan esta condición, por lo que hay que utilizar una teoría más precisa que esta teoría efectiva, y en esas teorías más efectivas, la mayoría de los objetos de materia condensada emergentes desaparecen.

Teorías efectivas no relativistas

Sólo una advertencia para los físicos de partículas: en esta configuración de materia condensada, estamos hablando de teorías no relativistas, por lo que la energía máxima permitida $E$ de cuasipartículas no tiene que ser $pc$ donde $p$ es el momento máximo permitido en la teoría efectiva. En otras palabras, no podemos asumir $v/c=O(1)$ . Por el contrario, la validez de estas teorías efectivas en la física de la materia condensada depende normalmente de que las velocidades sean también mucho menores que la velocidad de la luz.

Así que la masa de los fermiones pesados es mucho mayor que $m_0$ lo que haría que $m_e c^2$ mucho mayor que $m_0 c^2$ Sin embargo, esta última no es una fórmula relevante para la energía en las teorías no relativistas. En cambio, $p^2/2m_e$ que es (para los fermiones pesados) mucho menor que la energía cinética de los electrones, es relevante. El máximo permitido $p$ de estas cuasipartículas es mucho mayor que $\hbar/r_{\rm Bohr}$ - la longitud de onda de Broglie debe ser mayor que el radio de Bohr. Esto hace que $p^2/2m_e$ realmente pequeño en relación con la energía de ionización del hidrógeno.