Demostrar que $2^x = 3 \cdot 9^m+5$ no tiene ningún número entero positivo soluciones para $m \geq 2$

Question

Demostrar que $2^x = 3 \cdot 9^m+5$ no tiene ningún número entero positivo soluciones para $m \geq 2$.

Me di cuenta de que $x \equiv 5 \bmod 6$ e lo $2^x \equiv 4 \bmod 7$, pero que no parece que me ayude desde $3 \cdot 9^4 +5 \equiv 4 \bmod 7$. Casi cualquier otro mod que uso no parece funcionar así que creo que la prueba por contradicción o algo puede funcionar mejor.

Answer 1

Cualquier solución debe ser bastante pequeña, bien $m \le 11$ o $x \le 20$. Supongo que usted ha marcado todos los casos y no encontró soluciones, pero los dos ya eres consciente de; de hecho, no hay ninguna.

Vamos a probar esto - aunque con una advertencia: hay un montón de cálculo y la magia negra por delante.

EDIT: resulta Que puede reducir sustancialmente la cantidad de cálculo. Ver editar en la parte inferior.

---

Supongamos $m \ge 12$, y el trabajo modulo $3^{12}$. Desde $2$ es una raíz primitiva módulo $3^{12}$, tenemos una congruencia restricción en $x$ modulo $\phi(3^{12}) = 2\cdot3^{11} = 354294.$, En particular, debemos tener $$x \equiv 199283\pmod{354294}.$$

Ahora supongamos $x \ge 21$, y el trabajo del modulo $2^{21}$. $3$ no es exactamente una raíz primitiva módulo $2^{21}$ - genera un índice-$2$ subgrupo de $(\mathbb Z/2^{21}\mathbb Z)^{\times}$, pero, no obstante, se obtiene la restricción $$m \equiv 15627\pmod{524288}.$$

Ahora vamos a ver para los pequeños primos divisible por tanto 354294 y 524288. Resulta que $$p = 1+11\cdot\mathrm{lcm}(354294,524288) = 1021636509697$$ is prime, and $11$ es el número más pequeño para el que esto es cierto.

---

Ahora considere los conjuntos de $$S_2 = \left\{2^{199283+354294\cdot k}\pmod{p}\right\}, \qquad S_3 = \left\{3^{15627+524288\cdot k}\pmod{p}\right\}.$$

Es claro que, a partir de las definiciones que $$|S_2| = \mathrm{ord}_p\left(2^{354294}\right) = 720896, \qquad |S_3| = \mathrm{ord}_p\left(3^{524288}\right) = 649539.$$

Así que esperamos aproximadamente $$\frac{720896\cdot649539}{1021636509697} = 0.458\cdots$$ elements in $S_2 \cap (S_3 + 5)$. If we have no such elements, then there can't be any solutions to $2^x = 3^m + 5$ with $m \ge 12$ and $x \ge 21$.

Tenemos suerte, y no hay elementos en la intersección! TA-DA - no hay otras soluciones, además de los dos que usted sabe!

---

Con toda seriedad, que esto no debería haber funcionado. $S_2$ es un cuarto del tamaño esperamos; $S_3$ es un tercio del tamaño. Y todavía estaba a unos cincuenta-cincuenta tiro si había algo en su intersección. Y $p$ fue un factor de dos, más pequeñas de lo esperado. Debemos tuvo que buscar mucho más grande congruencias y el uso de aquellos. Pero la magia negra que pasó, y todo salió bien.

Una aclaración más: la razón por la que optó $p$ divisible por tanto 354294 y 524288 fue que obligó a los tamaños de $S_2$ $S_3$ a ser bastante pequeño en relación a $p$. Pero su producto debe haber sido más o menos $11/2$ el tamaño de $p$ en el peor de los casos; como he dicho, hemos tenido suerte.

---

EDIT: Aquí es cómo hacer que los números involucrados, mucho menor.

Trabajo modulo $3^5$; a continuación,$x \equiv 23\pmod{162}$. Trabajo modulo $2^2$; $m$ debe ser impar. A continuación, el trabajo modulo $163$. La única posible residuo de $2^{23+162k}\pmod{163}$$139$, e $134$ no es un posible residuo de $3\cdot9^m$ modulo $163$. De ahí que hayamos terminado.

Answer 2

Supongamos que $x$ es una solución, entonces: $ 2^{x} = 3.9^{m} + 5 = 3.9^{m} + 3 + 2$, así: $$2(2^{x-1} - 1) = 3( 9^{m} + 1) \Rightarrow (3.(9^{m} + 1)) | (2^{x-1} - 1)$$ Para $m\geq 2$. Pero $2^{x-1} - 1$ es impar y $3.(9^{m} + 1)$ es par.