¿Por qué son de torsión de puntos densa en un abelian variedad?

Question

Hola a todos,

deje $A$ ser un abelian variedad de dimensión $g$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$ de los característicos $p\geqslant 0$. Estoy tratando de demostrar que el subgrupo $A'$ que es la unión de todos los puntos de torsión $a\in A(k)$ de primer orden a $p$ es Zariski denso en $A$.

La declaración sería si el cierre de Zariski $B$ (que por construcción es un grupo de variedad) de $A'$ $A$ sería de nuevo un abelian variedad de dimensión $d$, ya que se asume $d<g$, $\ell$- parte principal de $B$ todavía estarían $(\mathbf Q_\ell/\mathbf Z_\ell)^{2 g}$, mientras que DEBE ser de rango $2d<2g$, contradicción.

Sin embargo, no veo por qué $B$ debe ser irreductible. ¿Alguien encuentra la manera de salvar el argumento, o una diferente, (más sencillo) argumento?

Answer 1

Deje $C$ ser el componente conectado de la identidad en $B$. A continuación, $C$ es un proyectiva grupo de variedad, por lo tanto, un abelian variedad; deje que se han dimensión $d$. Deje $B/C=G$, un grupo finito. A continuación, el número de $\ell$-torsión puntos de $B$ es en la mayoría de las $\left|G\right|\cdot\ell^{2d}$. Para un gran $\ell$, esto es menos de $\ell^{2n}$ si $d$ no $n$.