La conexión entre la transformada de Laplace y la generación de funciones

Question

Como yo estaba sentado a través de una conferencia aburrida repetir constantemente las técnicas básicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, comencé a pensar acerca de la transformada de Laplace y garabateó unas cuantas ideas que he copiado a continuación.

Considere la posibilidad de la transformada de Laplace de $\mathfrak{L}\{f\}:=\int_0^\infty e^{st}f(t)~dt$ sobre una superficie suave de la función $f$ que existe alrededor de $s_0\in\mathbb{C}$ tal que $e^{-s_0t}f(t)\to0$ $t\to\infty$ (creo que es suficiente para exigir a $f$ es de tipo exponencial). Por integración por partes, de la siguiente manera $$\mathfrak{L}\{f\}=s^{-1}f(0)+s^{-2}f'(0)+s^{-3}f"(0)+\dots=s^{-1}\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}$$

En otras palabras, la transformada de Laplace se comporta como un mapa de $f$ a la generación de la función de $f^{(n)}(0))_{n\in\mathbb{N}}$ $t=0$.

Por ejemplo, considere un sencillo lineal constante el coeficiente de la educación a distancia en $f$, digamos $f"-2f'+f=0$. 'Aplicar' la transformada de Laplace, se obtiene: $$s^{-1}\sum_{n=0}^\infty f^{(n+2)}(0)~s^{-n}-2s^{-1}\sum_{n=1}^\infty f^{(n+1)}(0)~s^{-n}+s^{-1}\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}=0\\s^{-1}\left(s^2\sum_{n=2}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}\right)-2s^{-1}\left(s\sum_{n=1}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}\right)+s^{-1}\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}=0\\s\left(\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}-f(0)-f'(0)s^{-1}\right)-2\left(\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}-f(0)\right)+s^{-1}\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}=0\\(s^2-2s+1)s^{-1}\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}=sf(0)+f'(0)+2f(0)\\s^{-1}\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)~s^{-n}=\frac{sf(0)+f'(0)+2f(0)}{s^2-2s+1}$$

Esta tan lejos está de acuerdo con la escuela primaria, el resultado que se encuentra el uso de las propiedades básicas de la transformada de Laplace y, de hecho, con el método estándar de la solución de relaciones de recurrencia mediante la generación de funciones.

De hecho, parece como si la transformada de Laplace es simplemente el método de funciones de generación aplicado a la secuencia de $f^{(n)}(0))_{n\in\mathbb{N}}$ (más que la educación a distancia se reduce a una relación de recurrencia). Sin embargo, parece casi necesario que para esta interpretación para el trabajo, la función del comportamiento en el dominio de interés debe ser completamente descrito por sus derivados en $t=0$, es decir, $f$ debe ser analítico.

Lo que se puede concluir de lo anterior? Es este un enfoque valioso para mirar la transformada de Laplace?

Answer 1

Este es un caso especial del momento de generación de la propiedad de la transformada de Laplace $^1$:

$$ \mathfrak{L}\Big\{f\Big\} = \int_{-\infty}^{\infty} \Big\{e^{st} \Big\} f(t) \operatorname{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} \Big\{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{s^n^n}{n!} \Big\} f(t) \operatorname{dt}$$ $$= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{s^n}{n!} \int_{-\infty}^{\infty}t^n f(t)\operatorname{dt} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{s^n}{n!} m_n $$

donde $m_n$ es el $$n-ésimo momento de $f$ sobre $0$ (se supone que estos existen).

En particular, si $f$ es el PDF de algún azar de la variable $X$, entonces $M_X (-s) us$, el reflejo del momento de generación de función, es la transformada de Laplace de $f$.

ver J. M. Dupré, "se Transforma y en el Momento de Generación de Funciones" para un análisis más en profundidad del tratamiento. (PDF accesibles 29/2/2015)

Nota 1: La doble cara de la transformada de Laplace se utiliza aquí porque supuestamente se traduce mejor en el probabilístico de casos. Parece que no hay diferencia significativa entre el uso regular de $\mathfrak{L}_+$ en comparación con las dos caras de $\mathfrak{L}$. Sin embargo, no estoy bien familiarizado con su uso en la probabilidad, así que no tome mi palabra para ella.

Nota: acabo de darme cuenta de que, la expansión de $f$ como una serie de Taylor, se llega a la misma igualdad:

$$ \mathfrak{L}\Big\{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}t^n\Big\} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\mathfrak{L}\Big\{t^n\Big\} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{n!}{s^{n+1}} = \frac{1}{s} \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0)\frac{1}{s^n} $$