$f(a(x))=f(x)$ - funcional de la ecuación

Question

Yo estaba leyendo "las Ecuaciones Funcionales y Cómo resolverlos" por Pequeños y el siguiente comentario aparece sin mucha justificación en la p. 13:

Si $a(x)$ es una involución, a continuación, $f(a(x))=f(x)$ tiene como soluciones de $f(x) = T\,[x,a(x)]$ donde $T$ es arbitraria simétrica de la función de $u$$v$.

Me preguntaba por qué esto es cierto (que funciona para los ejemplos que he intentado, pero no estoy seguro de $(1)$ cómo probar esto y $(2)$ si hay algo obvio me miró fijamente en la cara aquí).

Answer 1

Cualquier función f(x) que es una solución a su funcional de la ecuación f(a(x)) = f(x) debe satisfacer la propiedad de que no se modifica cuando usted lo enchufa en una(x) en lugar de x. Además, f(x) claramente debe ser una función f(x) = T[x, a(x)] en función de la x y(x); la cuestión es ver por qué T debe ser simétrico.

Ahora, T[x, a(x)] = f(x) = f(a(x)) = T[a(x), a(a(x))] = T[a(x), x], ya que una(x) es una involución. En particular, esto significa que T debe ser simétrico en sus dos variables.