$\lim_{k \to \infty} A^k$ donde $A$ es diagonalizable

Question

Yo estoy revisando diagonalización y me pregunto si en el siguiente sentido. Deje $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$ ser una matriz diagonalizable. Es decir, existen matrices $D$ $P$ tal que

$$ A = PDP^{-1} $$

donde las columnas de a $P$ son linealmente independiente de vectores propios de a $A$ e las $D$ es una matriz diagonal cuya diagonal entradas son los autovalores de a $A$ (repetido en función de sus respectivas multiplicidades). De lo anterior se sigue que

$$ \lim_{k \to \infty}^k = 0 $$

si cada autovalor de a $A$ está en el rango de $(-1, 1)$? Mi razonamiento es que (desde la primaria álgebra lineal) se puede mostrar que

$$ A = DP^kP^{-1} $$

si $A$ es diagonalizable. Desde $P$ $P^{-1}$ son finitos, el producto debe acercarse a cero debido a que cada uno (en diagonal) de entrada de $D$ se enfoque desde cero

$$ \lim_{k \to \infty} \lambda^k = 0 $$

si $-1 < \lambda < 1$. ¿Tienen sentido o es mi razonamiento defectuoso?

Answer 1

Teniendo en cuenta que todas las operaciones (sumas y productos de los números reales) que participan en el producto $PD^kP^{-1}$ son continuos, se obtiene

$$ \mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\^k = P\cdot \mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ D^k\cdot P^{-1} \ . $$

Entonces, para

$$ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} $$

usted, evidentemente, también tienen

$$ \mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ D^k = \mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2^k & \dots & 0 \\ \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ \lambda_1^k & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ \lambda_2^k & \dots & 0 \\ \dots \\ 0 & 0 & \dots & \mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ \lambda_n^k \end{pmatrix} $$

a partir de la cual su conclusión siguiente: si para todas las $\lambda_i$$|\lambda_i | < 1$,$\mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ \lambda_i^k = 0$, por lo tanto $\mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ D^k = 0$, por lo tanto $\mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty}\ A^k = P \cdot 0 \cdot P^{-1} = 0$.

Observación. De ser exigente, que "obviamente" más no significa algo así como que usted está considerando el producto de la topología en el espacio de las matrices de ${\cal M}_{m\times n}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{m\times n}$ y, a continuación, la continuidad de una función de matrices está marcada componente sabio. Por lo que el límite de una función de matrices es el límite de cada uno de sus componentes. Un comentario similar se aplica para la primera declaración sobre la continuidad de la $PD^kP^{-1}$.