ejemplo, que del Teorema de Wilson no es necesariamente cierto

Question

Mostrar con un ejemplo, que del Teorema de Wilson no es necesariamente cierto si $p$ no es primo. (De hecho, no es difícil demostrar que nunca es verdadera si $p$ no es primo, pero no estoy pidiendo que hagas eso.)

Mis resolver : deje $p$ no es primo como $4$$(4 - 1)! = 3! = 2 \pmod 4 \neq -1 \pmod 4$.

Es eso correcto?

Answer 1

Como el Señor Brooks señaló, del teorema de Wilson es un si-y sólo si el teorema, que la hace diferente de Fermat poco teorema. Fermat condición se cumple para todos los números primos y algunos compuestos, por lo que el hecho de que un número determinado cumple la condición no es una garantía de primalidad.

Por el contrario, un número que cumpla con Wilson condición está garantizado a ser un número primo. (Sin embargo, los cálculos son más laboriosos, por lo que disminuye el valor práctico de Wilson del teorema).

Por lo tanto, si entiendo tu pregunta correctamente, usted puede elegir cualquier número compuesto $n$ (preferiblemente uno pequeño, como 4) y hacer los cálculos para mostrar que $(n - 1)! \equiv 2$ o $0 \pmod n$.

Pero tal vez lo que buscas es algo un poco más general que todavía no llega a demostrar todo teorema.

Por ejemplo, si $n$ es incluso un número compuesto, a continuación, $(n - 1)!$ es también incluso un número compuesto. Si $(n - 1)! \equiv -1 \pmod n$, lo que significaría $(n - 1)!$ es impar, lo cual es una contradicción.

O vamos a decir $n = pq$, el producto de dos impares, números primos. Desde $p < q < n$ (o $q < p < n$, no hace mucha diferencia), se sigue que, tanto en $p$ $q$ son divisores de $(n - 1)!$. Por lo tanto,$(n - 1)! \equiv 0$, no $-1$, $\pmod n$.

Answer 2

Parece un poco confundido acerca de lo que Wilson es el teorema, por lo que antes de continuar, vamos a arreglar eso. De acuerdo a Mathworld, http://mathworld.wolfram.com/WilsonsTheorem.html Wilson, el teorema establece que si y sólo si $p$ es primo es $(p - 1)! + 1$ un múltiplo de $p$, o el de la congruencia $(p - 1)! \equiv -1 \pmod p$ es verdadera si y sólo si $p$ es primo.

Lo que se está pidiendo es un ejemplo específico para mostrar que $(p - 1)! \not\equiv -1 \pmod p$ al $p$ no es primo. Usted ha hecho ya que con $p = 4$.