la equivalencia de las normas

Question

Me gustaría un poco de ayuda aquí:

Tengo dos definido normas sobre las $C^{1}([0,1])$ :

• $\| A(f)\|=|f(0)|+\max_{x\in[0,1]}{|f'(x)|}$
• $\| B(f)\|=\int_0^1|f(x)|dx+\max_{x\in[0,1]}{|f'(x)|}$

Ya he demostrado que $A,B$ son normas sobre$C^{1}([0,1])$, demostrando que las habituales axiomas espera: cero vector tiene norma $0$, positiva homogeneidad y la desigualdad de triángulo (si no está completado, dígame, por favor).

La última cosa que necesito es mostrar la equivalencia de dichas normas. ¿Cómo voy a hacerlo?

Gracias

Answer 1

Por el teorema del valor medio $$ |f(x)|\leq |f(0)|+\|f\|_\infty\qquad\forall x\in[0,1]. $$ Por lo tanto $$ \int_0^1|f(x)|dx\leq \int_0^1(|f(0)|+\|f\|_\infty)dx=|f(0)|+\|f\|_\infty. $$ Así $$ \|B(f)\|=\int_0^1|f(x)|dx+\|f\|_\infty\leq |f(0)|+2\|f\|_\infty\leq 2\|A(f)\|. $$

Por el contrario, se observa que la integración por partes de los rendimientos $$ \int_0^1f(x)dx=-f(0) -\int_0^1 (x-1)f'(x)dx. $$ Por lo tanto $$ |f(0)|\leq \int_0^1|f(x)|dx+\int_0^1|x-1||f'(x)|dx\leq \int_0^1|f(x)|dx+\|f\|_\infty. $$ Por lo tanto $$ \|A(f)\|=|f(0)|+\|f\|_\infty\leq \int_0^1|f(x)|dx+2\|f\|_\infty\leq 2\|B(f)\|. $$

Así hemos demostrado que las dos normas son equivalentes.

Answer 2

Una parte fue hecho antes de mí, tenemos que llevar a $|f(0)|$.

Así, por el valor medio teorema, para cualquier $t\in (0,1]$ tenemos que $f(t)-f(0)=t\cdot f'(t_1)$ algunos $t_1<t$, lo $|f(t)|\le |f(0)|+||f'||_\max$ (usando también se $t\le 1$). Esto implica $||f||_\max\le |f(0)|+||f'||_\max$.

Por otra parte, $\int_0^1 |f|dx\le \int_0^1|f(0)|+||f||_\max dx= |f(0)|+||f||_\max$, y estos en conjunto muestran que, de hecho, $$||B(f)|| \le ||A(f)||+||f'||_\max \le 2||A(f)||$$

Por otra parte, es un poco más complicado: empezar a dibujar la función $f$$x=0$, wlog en la imagen podemos suponer $f(0)>0$. A continuación, dibuje la línea con el máximo posible de la pendiente, $m:=||f'||_\max$, hacia abajo , de modo que se intersecta con el $x$-eje en $x=f(0)/m$. Entonces tenemos que todo este triángulo (origen, $(0,f(0))$, $(x,0)$) debe estar por debajo de $f$, por lo que debe estar contenida en $\int_0^1 |f|$. Es decir, $$ \frac{f(0)^2}{2m}\le \int_0^1|f| \\ f(0)^2\le 2||B(f)||^2 \,,$$ y a partir de esta $||A(f)||\le 3||B(f)||$ sigue.