Una prueba válida para la invariancia del dominio teorema?

Question

La invariancia del dominio teorema establece que, dado un subconjunto abierto $U\subseteq \mathbb{R}^n$ y un inyectiva y continua en función de $f:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ $f$ es un homeomorphism entre el $U$ $f$'s de la imagen.

He intentado demostrar que mediante el uso de otro teorema:

si $g:K\rightarrow X$ es inyectiva y continua, $K$ es compacto y $X$ es Hausdorff , a continuación, $g$ es un homeomorphism entre el$K$$f(K)$.

Pero no estoy seguro acerca de cómo probar esto (sub)-teorema? o tal vez no existe un más fácil la prueba de la invariancia del dominio teorema?

Answer 1

Primera nota de que la prueba de su "lema" es fácil.

Para un bijective mapa continuo $f:X\to Y$ a ser un homeomorphism, es suficiente para $f$ a ser un abierto/cerrado mapa, porque entonces

$$ (f^{-1})^{-1}(A) = f(A) $$

es abierto/cerrado para cada una de las $A \subset Y$, por lo que el $f^{-1}$ es continuo, de donde $f$ es un homeomorphism.

Ahora tenga en cuenta que si $A \subset K$ es cerrado, donde $K$ es compacto, entonces $A$ es compacto. Por lo tanto, también lo es $f(A)$. En un espacio de Hausdorff compacto conjuntos son cerrados, por lo $f(A)$ está cerrado, así que $f$ es un cerrado mapa.

Pero esto no prueba la invarianza de dominio. Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que su "prueba" se nota utilice el hecho de que $U \subset \Bbb{R}^n$ $f : U \to \Bbb{R}^n$ (tenga en cuenta que las dimensiones de partido). Pero sin que coincida con las dimensiones, el teorema no es válido, como el siguiente contraejemplo (tomado de http://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain#Notes) muestra:

$$ f : (-1.1\, , \, 1) \a \Bbb{R}^2, x \mapsto (x^2 - 1, x^3 - x). $$

La imagen de esta función (también tomada desde el mismo post)

Es un ejercicio fácil para demostrar que $f$ es no un homeomorphism en su imagen, aunque es continua e inyectiva.

El problema aquí es que la reclamación que se obtiene es sólo que cada restringido mapa de $f|_K : K \to f(K)$ es un homeomorphism para $K \subset U$ compacto. Pero esto sólo le da continuidad de $f^{-1}|_{f(K)}$. Pero esto no implica la continuidad de la $f^{-1}$ (como se muestra en el ejemplo).