Deje $ \exp : M(n, \mathbb{C}) \rightarrow GL(n, \mathbb{C}) $ ser la matriz exponencial definida por $$ \exp(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{X^k}{k!} $$ Es este mapa suave como un mapa de $ \mathbb{C}^{n^2} \rightarrow \mathbb{C}^{n^2} $ ?
Mi intento: me muestran que la derivada en $ 0 $, $ D\exp(0) $ es la identidad de la transformación lineal en $ \mathbb{C}^{n^2} $, por tanto la derivada es nonsingular. Esto es debido a que hemos $$ \frac{|| \exp(H) - \exp(0) - H ||}{||H||} = \frac{||\sum_{k=2}^{\infty} \frac{H^k}{k!}||}{||H||} \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{||H||^{k}}{(k+1)!} $$ and the limit of the last expression as $ ||H|| \rightarrow 0 $ is clearly $ 0 $.
Mis problemas comienzan en los siguientes: (1) puedo calcular la derivada sólo a escalar de matrices en $ M(n, \mathbb{C}) $ (necesito conmutatividad de la identidad de $ \exp(A+B)=\exp(A)\exp(B) $) (2) I no se puede aplicar el teorema de la función inversa, sin embargo, porque he establecido la diferenciabilidad en un punto.
¿Cómo se podía superar estas dificultades? Sé que el teorema de la función inversa se tiene para funciones analíticas demasiado, pero me gustaría evitar, y en cualquier caso, sería necesario demostrar que la derivada es nonsingular en todas partes. No puedo ver una coordenada libre de enfoque.
