Cuántos números menores que $10^6$ contienen exactamente tres '$9$'s y tiene una extraña suma de los dígitos?

Question

se me ocurrió una idea que yo elija

Incluso hasta hasta 9 9 9 y ordenar de una manera tal que todos son el mismo - $\frac{6!}{3!*3!}$ dos son los mismos - $\frac{6!}{3!*2!}$ todos son diferentes - $\frac{6!}{3!}$

otro es que

Impar Impar Incluso 9 9 9

extraño son los mismos - $\frac {6!}{3!*2!}$ todos los tres son diferentes - $\frac{6!} {3!}$

y mi resultado es una suma de todas estas opciones. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Un método alternativo:

Elija los tres lugares para el $9$s: no se $\dbinom 63$ posibilidades.

Luego, entre el resto de los dígitos (no $9$s), elija cualquier dígito con la excepción de $9$ para el lugar de la izquierda ($9$ posibilidades), a continuación, elija cualquier dígito con la excepción de $9$ para la media del lugar ($9$ posibilidades).

Entre las formas de llenar estas dos dígitos, hay $4^2 + 5^2$ en la que podemos elegir dos dígitos de la misma paridad y obtener una suma, en cuyo caso tenemos que elegir una incluso las cifras para el último lugar abierto ($5$ opciones). Hay $2\times4\times 5$ formas en que para obtener un extraño suma, en cuyo caso necesitamos uno más de los dígitos impares ($4$ opciones, desde $9$ está excluido).

Así que en total tenemos $$\binom 63 \a la izquierda(5(4^2 + 5^2) + 4(2\times4\5 veces) \right) = 7300.$$

Answer 2

Con su idea:

• Tres dígitos y el 9:

  • De la misma, incluso dígitos cada vez (5 opciones: $0, 2, 4, 6, 8$ y permutación): $5 \cdot \frac{6!}{3! \cdot 3!}$
  • Dos dígitos son los mismos: $5 \cdot 4 \cdot \frac{6!}{3! \cdot 2!}$
  • Los tres dígitos son diferentes: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{6!}{3!}$

• Dos dígitos impares, incluso (4 opciones para los dígitos impares: $1, 3, 5, 7$):

  • El mismo dígitos impares : $\underbrace{5}_{even} \cdot \underbrace{4}_{odd} \cdot \frac{6!}{3! \cdot 2!}$
  • Extraño dígitos son diferentes: $\underbrace{5}_{even} \cdot \underbrace{4 \cdot 3}_{odd} \cdot \frac{6!}{3!}$

La respuesta es la suma de todos los casos.

Answer 3

Hay $\frac{6!}{3!3!}$ elegir donde el 9 son y donde los números son. Sin embargo, incluso si sabemos que los tres números son iguales, hay $5$ formas de elegir si es $0,2,4,6$ o $8$. (Tenga en cuenta que no nos preocupamos de los ceros a la izquierda, porque no afectan a la suma de los dígitos.) Así que hay $5\frac{6!}{3!3!}$. Cuando tenemos dos diferentes números, no hay duda de que es $\frac{6!}{3!2!}$ formas de separar de 9 posiciones, y dos, incluso el número de posiciones, pero también hay $5*4=20$ formas de elegir los reales, incluso los números. En el caso de los diferentes números que hemos $5*4*3=60$ formas de elegir los números de la primera, segunda y tercera no 9 dígitos y $\frac{6!}{3!3!}$ formas de elegir los 9 lugares antes. Así, en el caso de dígitos que hay $$5\frac{6!}{3!3!}+20\frac{6!}{3!2!}+60\frac{6!}{3!3!}=\frac{6!}{3!}(5/6+10+10)=20*(5+60+60)=2500$$ Sin embargo, tenga en cuenta que, de hecho, la separación de los tres casos no da ninguna ventaja para nosotros. Será mejor decir que no es $\frac{6!}{3!3!}$ maneras de elegir los lugares de $9$'s y, a continuación, $5^3$ formas de elegir los números para los otros tres lugares: sólo cinco opciones para cada lugar, independientemente de las otras. Y obtenemos $$125\frac{6!}{3!3!}=4*5^4=2500$$ El mismo, todo es correcto.

Para el caso de dos probabilidades podemos hacer lo siguiente: elegir 9s lugares en $\frac{6!}{3!3!}$ maneras, a continuación, elija en 3 modos, donde es aún, y en el 5 maneras lo que es. Para dos probabilidades podemos elegir de $1,3,5,7$, por lo que tenemos $4^2$ opciones. Con todo, para el extraño caso, $$\frac{6!}{3!3!}*3*5*16=20*15*16=4800$$ Y por último, $2500+4800=7300$ es la respuesta.

Answer 4

Esta es una ligera variación en David K la respuesta. Es el mismo excepto por la forma en que lidiamos con el último dígito. Yo esperaba para evitar los casos mediante la explotación de la simetría, pero resultó que no podía evitar por completo de ellos.

• Elegir las posiciones de los tres $9$'s (no se $6 \choose 3$ maneras de hacer esto)

• Se mueve de izquierda a derecha, elija dos de los tres restantes dígitos (hay $9^2$ maneras de hacer esto)

• Elegir el último dígito, llame a $k$, es un poco duro para asegurarse de que el dígito de la suma es impar. Pero podemos aprovechar la simetría de un poco:

  • Si usted elige uno de $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$, entonces si hubiera elegido $9 - k$ lugar usted terminaría con un número cuya suma de dígitos es la opuesta de la paridad (por ejemplo, si usted elige $6$ y la suma es par, luego de haber escogido $9 - 6 = 3$ les dejo con un extraño suma de dígitos). Hay $8$ posibilidades aquí, la mitad de ellos serán aceptables si la suma sin este dígito es par o impar.

  • Sigue cómo lidiar con $0$ (ya hemos elegido nuestros tres $9$'s). Por desgracia, no puedo pensar en una mejor manera de jugar con los casos de los dos no$9$ elegido dígitos. Podemos optar $0$ como el dígito final si y sólo si los dos números tienen incluso una suma. Así que los dos pueden ser incluso ($5^2$ formas), o ambos impares ($4^2$ formas).

Así que nuestra total ${6 \choose 3} \cdot \big[ (9^2 \cdot 4) +(4^2 + 5^2)\big]$ (no es de extrañar que también se $7300$), donde la suma corresponde a si nuestro "final" dígito distinto de cero (en cuyo caso se puede elegir el "primer" dos libremente) o no.

Answer 5

Algunos de fuerza bruta que produce rápidamente, como era de esperar, 7300. (Python)

N= 1000000

count=0
for i in range(1,N):
    nines = 0
    dsum = 0
    for c in str(i):
        if c == '9': nines += 1
        dsum += int(c)
    if dsum % 2 == 1 and nines == 3: count += 1
print count