Límite de una secuencia progresión y la disminución de la secuencia

Question

Si una secuencia de ($a_n$) es monótona creciente, y ($b_n$) es una disminución de la secuencia, con $\lim_{n\to\infty}\,(b_n-a_n)=0$, muestran que $\lim a_n$ $\lim b_n$ ambos existen, y que $\lim a_n=\lim b_n$.

Mi intento:

Para mostrar que los límites de ambos existen secuencias, creo que debe ser el uso de la Monotonía Teorema de Convergencia (MCT). Para que iba a necesitar para mostrar que las secuencias son acotados.

($a_n$) es cada vez mayor, y así debe ser delimitada a continuación. ($b_n$) está disminuyendo, por lo que debe ser delimitada por encima. El reto aquí es mostrar que (a$a_n$) puede estar delimitado por encima de y ($b_n$) puede estar acotada a continuación. Esta debe utilizar la tercera condición, de la que obtengo:

$$\begin{align*} & \lim_{n\to\infty}\,(b_n-a_n)=0 \\[3pt] \iff & \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in \mathbb{N} \text{ s.t. } \forall n\geq N,\ |{b_n-a_n}|<\varepsilon \end{align*}$$

A continuación, probé con el triángulo de la desigualdad: $$ |b_n|-|a_n|\leq|b_n-a_n|<\varepsilon$$

pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

La parte izquierda de la desigualdad de $|b_n|-|a_n|\leq|b_n-a_n|<\epsilon$ no es necesario en la prueba.

Reivindicación 1 $(a_n)$ está delimitado por encima.

La Prueba Deje $\epsilon>0$. De $|b_{n+1}-a_{n+1}|<\epsilon$, $a_{n+1}<b_{n+1}+\epsilon$. El uso de la monotonía de $(a_n)$$(b_n)$. Tenemos $$a_1 \le \dots \le a_n\le a_{n+1} < b_{n+1}+\epsilon \le b_n+\epsilon \le \dots \le b_1 + \epsilon.$$ Desde la elección de $n$ en la desigualdad anterior es arbitrario, tenemos $a_n < b_1 + \epsilon$ todos los$n \in \Bbb N$. Por lo tanto, $(a_n)$ está acotada arriba por $b_1 + \epsilon$.

Del mismo modo, tenemos otro reclamo.

La reivindicación 2 $(b_n)$ está delimitado a continuación.

Ahora, cabe recordar que la $(a_n)$ $(b_n)$ son el aumento y la disminución de las secuencias, respectivamente, y aplicar MCT a $(a_n)$ $(b_n)$ para establecer la existencia de $\lim a_n$$\lim b_n$. Por último, el uso de $\lim\limits_{n\to+\infty}(b_n-a_n)=0$ a la conclusión de que la $\lim a_n = \lim b_n$.

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Lo siento por el uso de las ideas de los demás en mi solución. Me gustaría hacer un conmutativa diagramas en los comentarios, pero el sistema prohíbe me de publicación de comentarios con dos o más @ personajes, así que no se puede publicar el siguiente diagrama en un comentario. Con la esperanza de que otros se puedan beneficiar de su respuesta a la primera vista, estoy de sorteo de este diagrama para la diversión.

Una explicación gráfica de DonAntonio respuesta

$\require{AMScd}$ \begin{CD} @. a_n \\ @. @AA \vdots A \\ @. a_{N+1} \\ @. @AA (a_n)\uparrow A \\ @. a_N \\ \text{Suppose }a_N > b_K. \\ b_K @. \\ @V(b_n)\downarrow VV @.\\ b_{K+1} @. \\ @V \vdots VV @.\\ b_n @. \end{CD} Es claro desde el diagrama que tenemos que tomar en $n \ge \max\{K,N\}$. Pero $\lim\limits_{n\to+\infty}(b_n-a_n)=0$, contradicción.

Answer 2

Sugerencia:

Supongamos que existe $\;K\in\Bbb N\;$ tal que para algunos $\;N\in\Bbb N\;,\;\;a_N>b_K\;$ , decir $\;a_N-b_K=\epsilon>0\;$ , pero luego

$$\forall\,n\ge N\,,\,\,\forall\,m\ge K\;,\;\;\begin{cases}a_n\ge a_N>b_K,&\text{since $\,\{a_n\}\,$ es monotono ascendente}\\{}\\ b_m\le b_K<a_N,&\text{desde $\,\{b_n\}\,$ es monótona decreciente}\end{casos}$$

y desde aquí nos gustaría conseguir que para cualquier $\;n\ge\max\,\{K,N\}\;$ :

$$a_n\ge a_N>b_K\ge b_n\implies a_n-b_n>\epsilon>0\implies \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)\neq0$$

y por encima de la muestra no sólo la secuencia, que están delimitadas en la dirección correcta, sino que también, ambos vinculados unos a otros resp.

Answer 3

Elige un $\varepsilon>0$ $$|(a_n-b_n)|\lt\varepsilon, \forall n> N_0$$ debido a $\lim (a_n-b_n)=0$. Para terminar su prueba, suponga que $\lim a_n=a$$\lim b_n=b$. Entonces usted tiene $$|a_n-a|<\varepsilon, \;\forall n>N_1$$ y $$|b_n-b|<\varepsilon, \; \forall n>N_2$$ Así que seleccione un $n$ tal que $n>N_0, n>N_1, n>N_2$ para obtener $$|a-b|\le|a-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-b|\lt 3\varepsilon$$

$\varepsilon$ fue elegido arbitrarias por lo tanto $$|a-b|=0$$

Answer 4

Desde $\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$, hay un $N$ tal que $|a_n-b_n|<1$ para todos los $n\ge N$. ($1$ es una serie de la que he elegido para $\varepsilon$.) Desde $b_n$ está disminuyendo, tenemos $a_n<b_n+1\le b_N+1$ todos los $n\ge N$. Por lo tanto, $a$ está delimitada desde arriba, de hecho, por $\max\left\{a_0,a_1,\dots,a_{N-1},b_N+1\right\}$.

Por lo tanto, $a$ converge. Desde $b_n = a_n + (b_n-a_n)$ y el tanto $a$ $b-a$ convergen, $b$ también converge.