¿Qué tan rápido una función de onda desaparecer en el infinito?

Question

A la hora de resolver unidimensional de la mecánica cuántica de sistemas, me encuentro muy confundido acerca del comportamiento de wavefunctions en el infinito. Primero vamos a imponer tres razonables limitaciones:

1. La energía potencial $V(x)$ es curva y tiene un número finito de discontinuidades.
2. La función de onda está normalizado en la posición del espacio (tan Delta de Dirac distribuciones no están permitidos).
3. El impulso del operador es Hermitian en la posición del espacio(esta condición exige que la función de onda se desvanece en el infinito, de modo que la superficie de plazo se desvanece).

Lo que me parece interesante es que, en ejemplos sencillos, el wavefunctions siempre se desvanecen exponencialmente rápido en el infinito. Por ejemplo, la partícula libre paquete de ondas se cae como Gaussianas, el oscilador armónico wavefunctions son Gaussianas multiplicado por los polinomios de Hermite, y el finito plaza bien wavefunctions caen como $e^{-x}$. Dado exponencial falloffs, es obvio que la posición del operador es Hermitian y su expectativa de valor está bien definido. Sin embargo, se puede cocinar wavefunctions que se desvanecen en la tasa de inversa de polinomios y la expectativa de valor de posición de operador puede convertirse en mal definidos en estos contextos. Por ejemplo, considere una función de onda que cae como $1/x^2$. Entonces es obvio que la expectativa de valor de $X^3$ no está bien definido: $$ \int \psi^*(x) x^3 \psi(x) dx \propto \int \frac{1}{x} dx \rightarrow \infty$$ Para hacer estos wavefunctions aparecen en real Hamiltonianos? Dadas las limitaciones anteriores, podemos encontrar un potencial de $V(x)$ de manera tal que la función de onda se cae como un polinomio inverso, en lugar de una exponencial?

Answer 1

Muy interesante pregunta! Voy a empezar por esbozar algunos de los matemáticos básicos para esta pregunta:

• Estás buscando un delimitada estado de algunos potenciales $V$, es decir, un no-dispersión de estado. Mathemematically, esto se traduce en un $L^2$integrable eigenfunction del operador de Schrödinger $-\Delta+V$.

• Por elípticas regularidad, para estas funciones podrá obtener al instante lo que yo entiendo como la condición (3) (La más precisa declaración sería que $\psi$ se encuentra en el dominio de la auto-adjunto la versión de $\hat{p}$). Básicamente, el argumento aquí es, que $\psi$ tiene que ser dos veces diferenciable, reordenando la ecuación de Schrödinger, para su clase de potenciales tendrás $\Delta \psi\in L^2$, por la transformada de Fourier que luego que la primera derivada también se $L^2$. Por lo tanto, $\hat{p}$ está bien definido para $\psi$.

La idea básica de por qué la mayoría de los enlazados a los estados que llegará a través de son exponencialmente en descomposición procede de la siguiente idea: Supongamos que lejos del origen, $V$ es monotono es decir, no oscilan. Entonces se puede estimar $V$, desde abajo, por un cuadro de potencial, entonces un delimitada estado de $V$ entonces ser dominado por una limitada del estado de la caja de potencial. Limitada estados de caja de los potenciales de hacer de manera exponencial de decaimiento, por lo tanto el estado de decaimiento exponencial. Este argumento puede ser explícita, usando al máximo los principios de ecuaciones en derivadas parciales elípticas, puede que la matemática detalles en, por ejemplo,

Berezin y Shubin, La ecuación de Schrödinger (Springer 1991).

Así que a partir de esta argumentación, la respuesta a tu pregunta es casi nada para los potenciales que son monótonas muy lejos. Por "casi", me refiero a que puede haber tales funciones distinguidos, pero físicamente irrelevante valores de $E$, por ejemplo, considerar el potencial $$ V(x)=\frac{2-6x^2}{(1+x^2)^2} $$que se parece a esto:

Ahora puede comprobar que $\psi(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{1+x^2}$ es una normalizado eigenfunction a este potencial con autovalor 0. El impulso del operador está bien definido para esta $\psi$ $\psi$ obviamente decae sólo exponencialmente para $x\rightarrow\infty$. Así que, ¿qué pasó aquí? Si intenta utilizar la "caja" del argumento, se podría comparar a un cuadro que es completamente negativa de distancia desde el origen (recuerde, el cuadro estima el potencial de abajo), por lo tanto, 0 es ya un estado de dispersión de la caja! Sin embargo, analizando el potencial, se ve que esto sólo puede ser el caso de este valor exacto de $E$ - para un $\epsilon$ más de energía que se obtiene una dispersión de estado desde $V\rightarrow 0$$x\rightarrow \infty$; y para un $\epsilon$ menos, usted recibirá un estado asociado puede estimar por medio de un cuadro, por lo que decae exponencialmente. Ya que no se puede preparar un estado con un valor exacto de energía, esto no es físicamente relevante. En general, este fenómeno sólo se da en $E=\limsup_{|x|\rightarrow\infty}V(x)$, ya que esto le corresponde a la menor energía posible para la dispersión de los estados.

Así que, ¿qué puede pasar si dejamos caer la "monotonía-ahora-fuera"-condición? Yo creo que en este caso, debe ser posible obtener el tipo de estados que están buscando. Mi intento de la construcción va de la siguiente manera: Vamos a $V$ ser una colección de cuadro de potenciales donde las cajas han altura constante y crecer más fino, como $x$ se hace más grande, por ejemplo, algo que se parece vagamente a este:

Si la infinidad de discontinuidades que molesta, el comportamiento describiré debe ser exactamente el mismo para una versión suavizada de este potencial.

Ahora, un estado limitado de este potencial podría oscilar en torno a $0$ donde $V=-0.5$ y la decadencia donde $V=+0.5$. El (exponencial) de la tasa de descomposición donde $V=0.5$ es siempre la misma, por el control de la anchura de las cajas, que exactamente se puede controlar la velocidad de su obligación del estado decae, por ejemplo, que se puede lograr, que cada vez que pase por la parte positiva de la caja, su amplitud disminuye en la tasa de $1/x^2$. Los detalles son, probablemente, muy técnico y pescado, pero creo que, en principio, esto debería funcionar.

Answer 2

Supongo que usted, probablemente, $can$ cocinar un potencial de esta especie, pero ¿qué tendría que demostrar a usted? Dependiendo de la situación, nos gustaría simplemente rechazar esas soluciones no físico. De hecho, esto se hace todo el tiempo. Por ejemplo, se pueden obtener soluciones que mueren de forma exponencial y las que crecen exponencialmente a medida que usted vaya a infinito. Suelen satisfacer la ecuación diferencial es necesario. Sin embargo, desecha la que no puede ser normalizado. Del mismo modo, esto se hace con entrante/saliente de onda de las soluciones que a menudo se establece uno de ellos a cero, ya que, incluso a pesar de que satisfacen la misma ecuación, uno de ellos no es el físico de la solución que usted está buscando.