Cómo integrar la $\int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} \frac{dx}{\sqrt{x^4 + ax^2 + 1}}$?

Question

La pregunta es cómo mostrar la identidad

$$ \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{dx}{\sqrt{x^4 + ax^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{a+2}} \log\left( 1 + \frac{\sqrt{a+2}}{2} \right), \tag{$>-2$} $$

He comprobado esta numéricamente para varios casos, pero incluso Mathematica 11 no podía manejar esto simbólicamente general $a$, a excepción de algunos casos especiales como $a = 0, 1, 2$.

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Adenda. Aquí están algunos fondos y mis ideas:

• Esta integral vino de mi intento personal para encontrar el patrón de la integral

  $$ J(a, b) := \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{dx}{\sqrt{1 + ax^2 + bx^4}}. $$

  Este me llamó la atención como se tiene la siguiente identidad

  $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{x+1} \cdot \frac{dx}{\sqrt{4x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 8x + 1}} = J(6,-3), $$

  donde el lado izquierdo es la integral de esta pregunta. Para establecer la demanda en esta pregunta equivale a mostrar que $J(6,-3) = \frac{1}{2}\log 3 - \frac{1}{3}\log 2$, aunque soy escéptico de que $J(a, b)$ tiene una bonita forma cerrada para cada par de parámetros $(a, b)$.

• Una posible idea es escribir

  \begin{align*} &\int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{dx}{\sqrt{x^4 + ax^2 + 1}} \\ &\hspace{5em}= \int_{0}^{1} \frac{(x^{-2} + 1) - 2x^{-1}}{x^{-1} - x} \cdot \frac{dx}{\sqrt{(x^{-1} - x)^2 + a + 2}} \end{align*}

  Esto se desprende de una simple manipulación algebraica. Esto sugiere que podría ser capaz de aplicar Glasser maestro del teorema, aunque en menor forma trivial.

No creo que esto es particularmente difícil, pero yo, literalmente, no tienen suficiente tiempo para pensar en eso ahora. Así que supongo que es un buen momento para buscar ayuda.

Answer 1

Hacer cumplir la sustitución de $x^{-1}-x=u$ en su última integral se obtiene:

$$ \int_{0}^{+\infty}\left(-1+\frac{2}{\sqrt{4+u^2}}\right)\frac{du}{u\sqrt{u^2+a+2}} $$ y por establecimiento $u=\sqrt{a+2}\sinh\theta$ obtenemos: $$ \frac{1}{\sqrt{a+2}}\int_{0}^{+\infty}\left(-1+\frac{2}{\sqrt{4+(a+2)\sinh^2\theta}}\right)\frac{d\theta}{\sinh\theta}$$ Nos puede deshacerse de la última plazo a través de la "hiperbólico de Weierstrass de sustitución" $$ \theta = 2\,\text{arctanh}(e^{-v}) = \log\left(\frac{e^v+1}{e^v-1}\right)$$ que el mago le da $$ \frac{1}{\sqrt{a+2}}\int_{0}^{+\infty}\left(-1+\frac{2}{\sqrt{4+\frac{a+2}{\sinh^2 v}}}\right)\,dv$$ es decir, finalmente, un manejable integral a través de la diferenciación bajo el signo integral.
Esto demuestra OP inicial de la identidad. Cervezas en mí.