Es $1$ a un punto límite de la parte fraccional de $1.5^n$?

Question

Es un problema abierto si la parte fraccionaria de $\left(\dfrac32\right)^n$ es denso en $[0...1]$.

El problema es: $1$ a un punto límite de la secuencia anterior?

Una formulación equivalente es: $\forall \epsilon > 0: \exists n \in \Bbb N: 1 - \{1.5^n\} < \epsilon$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$.

Aquí hay una tabla de $n$ contra $\epsilon$ que me calculada:

$\begin{array}{|c|c|}\hline \epsilon & n \\\hline 1 & 1 \\\hline 0.5 & 5 \\\hline 0.4 & 8 \\\hline 0.35 & 10 \\\hline 0.3 & 12 \\\hline 0.1 & 14 \\\hline 0.05 & 46 \\\hline 0.01 & 157 \\\hline 0.005 & 163 \\\hline 0.001 & 1256 \\\hline 0.0005 & 2677 \\\hline 0.0001 & 8093 \\\hline 0.00001 & 49304 \\\hline 0.000005 & 158643 \\\hline 0.0000005 & 835999 \\\hline \end{array}$

Referencias

1. Problemas no resueltos, editado por O. Strauch, en la sección 2.4 Exponencial de las secuencias es mencionado explícitamente que tanto se pregunta si $(3/2)^n\bmod 1$ es denso en $[0,1]$ y si es uniformemente distribuidos en $[0,1]$ están abiertas las conjeturas.
2. Alimentación de las fracciones, en Wolfram Mathworld, "sólo porque el Internet dice así"

Answer 1

Otro comentario, pero demasiado grande para el estándar de la caja. Un atanh() reescalado podría ser una cosa interesante, ver a mi ejemplo:

El rosa y el azul son las líneas hullcurves conexión de los puntos de $\small (N,f(N))$ donde $f(N)$ es extremal (con el movimiento de máximos/mínimos) y los puntos grises son los puntos de $\small (N,f(N))$ $\small N \le 1000 $ que deberá ilustrar la distribución aleatoria de las $\small f(N)$.
Las líneas grises son registrados manualmente suave subconjuntos de la extremaldata y simétrico (por fusión de los conjuntos de datos y adaptación de señal) para mostrar el áspero tendencia de la extensión de la vertical de los intervalos.

Me gustó que el atanh()-escala parecen sugerir algunas aproximadamente lineal de incremento/disminución de la hullcurves.

[actualización] Los datos de la imagen se extendieron por los datos de la OP y OEIS A153663 (magenta curva superior) y de la OEIS A081464 (azul curva inferior). Tenga en cuenta que el OEIS tiene aún más puntos de datos, pero que era necesario excesivo de la memoria/tiempo para calcular las altas potencias de (3/2) y sus fracciones.