Tengo una pregunta muy sencilla con respecto a los métodos numéricos en física.
Quiero resolver el problema de valores propios de una partícula que se mueve en un potencial arbitrario. Tomemos 1D para ser concretos. Es decir, quiero encontrar $(E,\psi(x))$ Satisfaciendo a
\begin {align} \left [- \frac {1}{2} \partial_x ^2 + V(x) \right ] \psi (x)=E \psi (x). \end {align}
Ahora bien, ¿cómo lo hago exactamente? Ingenuamente implementaría el siguiente algoritmo:
1) Elige algunos $E$ .
2) Quiero encontrar $\psi(x)$ que es normalizable. Así que podría elegir un gran $L > 0 $ , set $\psi(-L) = \epsilon > 0$ y $\psi'(-L) = \epsilon'>0$ e integrar numéricamente a partir de ahí utilizando la ecuación de Schrodinger.
3) Si me encuentro con una solución que es exponencialmente pequeña lejos de la derecha del origen, entonces digo que la solución es normalizable (ya que decae a $|x|\to\infty$ ), y acepto el par $(E,\psi(x))$ .
4) Incremento $E \to E + dE$ y repito el proceso.
Al hacerlo, debería obtener el espectro alrededor de mi valor inicial de $E$ .
¿Funciona realmente este algoritmo? También me parece una forma muy descontrolada de hacerlo; no tengo ni idea de lo preciso que va a ser el espectro. Por ejemplo, ¿cambiar $L, \epsilon, \epsilon'$ ¿hacer la diferencia?
La cosa es que sé por la teoría de Sturm-Liouville que el espectro $E$ va a ser discreto (dado $V(x)$ satisfaciendo algunas buenas propiedades). Así que el espectro va a ser un conjunto de medida 0 entre toda la línea real que $E$ vive en. Esto significa que casi con seguridad (es decir, con probabilidad 1) nunca voy a obtener una solución que sea normalizable, y cualquier solución que intente integrar numéricamente desde mi punto de partida siempre va a estallar al haberse integrado lo suficientemente a la derecha.
Entonces, ¿qué algoritmo utiliza la gente para obtener numéricamente el espectro y los valores propios? ¿Cómo se controla también la precisión del espectro generado?
