Mostrar que si $x_n \to x$ $\sqrt{x_n} \to \sqrt{x}$

Question

Mostrar que si $x_n \to x$ $\sqrt{x_n} \to \sqrt{x}$ me han pegado en esto. He intentado $$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| = \frac{|x_n - x|}{|\sqrt{x_n} + \sqrt{x}|},$$ and then I at least can get the top to be as small as I want, so I have $$\frac{\epsilon}{|\sqrt{x+\epsilon} + \sqrt{x}|},$$ pero me quedo atascado aquí en la elección de la N, y no sé si mi primer paso en la ruptura de el valor absoluto es legítimo. Por favor, ayudar.

Answer 1

1. Usted quiere tratar el caso de $x=0$ por separado.
2. Al $x\neq 0$, la identidad es el camino a seguir. El próximo uso $\sqrt{x_n}+\sqrt{x}\geq \sqrt{x}$.

Answer 2

Deje $\epsilon > 0$. Desde $(x_n)\rightarrow x$, luego de algunos $N\in \mathbb{N}$,, $$|x_n-x|<\epsilon \sqrt{x} \hspace{10pt} \text{when}\hspace{10pt} n\geq N$$ Esto implica $$\frac{|x_n-x|}{\sqrt{x}}<\epsilon \hspace{10pt} \text{when}\hspace{10pt} n\geq N$$ Aviso, \begin{align*} |\sqrt{x_n}-\sqrt{x}|&=|\sqrt{x_n}-\sqrt{x}|\left(\frac{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}}\right)\\ &=\frac{|x_n-x|}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}}\\ &\leq \frac{|x_n-x|}{\sqrt{x}} \end{align*} Así, al $n\geq N$, $$|\sqrt{x_n}-\sqrt{x}|\leq\frac{|x_n-x|}{\sqrt{x}}<\epsilon $$ Por lo tanto, $(\sqrt{x_n})\rightarrow \sqrt{x}$.